[論文レビュー] Computability and the growth rate of symplectic homology

Mark McLean|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、次元 $ n \geq 8 $ の複素アフィン空間微分同相な明示的に構成されたスティーン多様体が互いにシンプレクティック同相かどうかを決定するアルゴリズムが存在しないことを示している。これは、シンプレクティックホモロジーの成長率を群論的決定不能性と結びつけることで達成される。主な結果は、$ \mathbb{R}^{2n} $ 上のシンプレクティック構造および $ S^{2n-1} $ 上の接触構造における決定不能性であり、これは群論における語問題に起因する。

ABSTRACT

For each n greater than 7 we explicitly construct a sequence of Stein manifolds diffeomorphic to complex affine space of dimension n so that there is no algorithm to tell us in general whether a given such Stein manifold is symplectomorphic to the first one or not. We prove a similar undecidability result for contact structures on the 2n - 1 dimensional sphere. We can generalize these results by replacing com- plex affine space with any smooth affine variety of dimension n and the 2n - 1 dimensional sphere with any smooth affine variety intersected with a sufficiently large sphere. We prove these theorems by using an invariant called the growth rate of symplectic homology to reduce these problems to an undecidability result for groups.

研究の動機と目的

• 次元 $ n \geq 8 $ の複素空間 $ \mathbb{C}^n $ に微分同相な明示的に構成された Stein 多様体が存在し、それらのシンプレクティック構造がアルゴリズムで区別できないことを確立すること。
• シンプレクティック完備化および Lefschetz フibration を用いて、この決定不能性を $ S^{2n-1} $ 上の接触構造へと拡張すること。
• シンプレクティックホモロジーの成長率が、計算可能な不変量として機能し、シンプレクティック分類問題を決定不能な群論的問題に還元することを示すこと。
• 微分同相である場合でさえも、このような多様体間のシンプレクティック同値性を特定するアルゴリズムが存在しないことを証明すること。これは、語問題をシンプレクティック位相に埋め込むことで達成される。
• 任意の滑らかなアフィン多様体 $ V $（次元 $ n \geq 8 $）に対して、その構成を一般化し、境界に現れる接触構造に対しても同様の決定不能性が成立すること。

提案手法

• 群の提示を入力として、標準的な $ 2n $ 次元球面への明示的な Weinstein ハンドル付加により、有限型の Stein 多様体を構成する。
• シンプレクティックホモロジーの成長率を不変量として用い、その代数的および位相的性質を活用して非シンプレクティック同相性を検出する。
• 群の提示をハンドル付加に埋め込むことで、シンプレクティック分類問題を群論における語問題の決定不能性に還元する。
• シンプレクティックホモロジーの成長を制御し、上界を確立するために Lefschetz フibration および部分 Lefschetz フibration を用いる。
• シンプレクティックコーブォイド内での正則曲線に対する最大原理を適用し、マッピングトーラス内に非自明な擬正則曲線が存在しないことを排除する。
• 正確なシンプレクティック同相写像およびシリンダーライクな端構造を用いて、変形下でもシンプレクティックホモロジー不変量が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの明示的に構成された Stein 多様体がすべて $ \mathbb{R}^{2n} $ に微分同相である場合、それらがシンプレクティック同相かどうかを特定するアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 次元 $ n \geq 8 $ の場合、Stein 多様体のシンプレクティック構造はその微分同相型によって決定されるのか、明示的な構成のもとで？
• RQ3 群論における語問題を、ハンドル付加を介して Stein 多様体のシンプレクティック不変量に埋め込むことは可能か？
• RQ4 シンプレクティックホモロジーの成長率は、高次元の Stein 多様体におけるシンプレクティック非同値性を検出するために果たす役割は何か？
• RQ5 底面の Stein 填充が $ \mathbb{R}^{2n} $ に微分同相である場合、球面 $ S^{2n-1} $ 上の接触構造に対しても決定不能性の結果が得られるか？

主な発見

• 任意の群提示 $ P $ に対して、$ n \geq 8 $ のとき、$ \mathbb{C}^n $ と Weinstein ハンドルを用いて明示的に構成された有限型の Stein 多様体 $ S_P $ が存在し、$ S_P \simeq S_{\langle|\rangle} $ となるのは $ G_P $ が自明であるときかつそのときに限る。
• シンプレクティックホモロジーの成長率が $ S_P $ と $ S_{\langle|\rangle} $ を区別するために用いられ、この不変量は構成において計算可能である。
• このような $ S_P $ 間のシンプレクティック同値性を特定するアルゴリズムは存在しない。なぜなら、これを解けると群論における語問題も解けるからである。
• 同様の決定不能性結果は、同じ Stein 多様体の境界として構成された $ S^{2n-1} $ 上の接触構造に対しても成立する。
• この構成は $ \mathbb{C}^n $ を超えて一般化可能である。任意の次元 $ n \geq 8 $ の滑らかなアフィン多様体 $ V $ に対して、$ V $ を基にした Stein 多様体およびその境界接触構造に対しても同様の決定不能性が成立する。
• シンプレクティックホモロジーの成長率はシンプレクティック同相写像下で保存され、またハンドル付加によって符号化された基本群に敏感である。