[論文レビュー] Computability Theory of Closed Timelike Curves

Scott Aaronson, Mohammad Bavarian+5 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、デュイッチ型閉タイムリープコーストゥール（CTC）を装備したチューリングマシンの計算能力を調査し、古典的および量子的CTCコンピュータが、停止問題にチューリング還元可能な問題を正確に解けることを示している。主な結果は、CTCがチューリングマシンを超えるハイパーコンピュテーションを可能にし、停止問題がこのモデルの完全なオракルとして機能することである。これは、基礎的なマシンが古典的か量子的かにかかわらず同様に成り立つ。

ABSTRACT

We study the question of what is computable by Turing machines equipped with time travel into the past; i.e., with Deutschian closed timelike curves (CTCs) having no bound on their width or length. An alternative viewpoint is that we study the complexity of finding approximate fixed points of computable Markov chains and quantum channels of countably infinite dimension. Our main result is that the complexity of these problems is precisely $Δ_2$, the class of languages Turing-reducible to the Halting problem. Establishing this as an upper bound for qubit-carrying CTCs requires recently developed results in the theory of quantum Markov maps.

研究の動機と目的

• 閉タイムリープコーストゥール（CTC）を装備した古典的および量子的チューリングマシンの計算理論的パワーを特定すること。
• CTCがチューリングの壁を超えるハイパーコンピュテーションを可能にするかどうかという基礎的問いを解明すること。
• 特にサイズ制限が課されない場合に、デュイッチのCTCモデルにおける固定点整合性の役割を分析すること。
• デュイッチのモデルにおけるCTCの計算パワーと、後選択に基づくモデル（例：Lloydら）とを比較すること。
• 無限大の設定下で、量子的CTCコンピュータが古典的CTCコンピュータよりも高い計算パワーを有するかどうかを調査すること。

提案手法

• 固定点解を介した進化演算子に対する確率的整合性条件を課すデュイッチのCTCモデルを採用する。
• 関数解析におけるリース表現定理を用いて、量子的CTCをシミュレートし、計算パワーにおいて古典的CTCと同等であることを証明する。
• 有限固定点が存在しない場合に対処するため、無限等比級数を含む固定点分布を分析する。
• 固定点を生成できるCTCが、固定点が存在しないすべてのCTCとは異なり、無限等比級数を用いて停止問題を解くのに十分であることを証明する。
• 計算可能性理論および複雑性理論の技法を適用し、古典的および量子的CTCコンピュータが、停止問題オラクルに相対的に計算可能な問題、すなわち$Δ_2^0$クラスの問題を正確に解けることを示す。
• 多項式的制限付きCTCの研究と対比し、制限なしの状況に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ制限や時間制限なしに、デュイッチ型CTCを装備した古典的または量子的チューリングマシンが解ける問題は何か？
• RQ2 CTCの存在がハイパーコンピュテーションを可能にするか。もしそうならば、そのようなマシンの正確な計算パワーは何か？
• RQ3 無限大の設定下で、量子的CTCコンピュータは古典的CTCコンピュータよりも強力か？
• RQ4 一部のCTC進化において固定点が存在しない場合、モデル全体の計算可能性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 サイズ制限がない状況下で、後選択に基づくCTCモデルの計算パワーは何か？

主な発見

• CTCを装備したコンピュータは、停止問題にチューリング還元可能な問題、すなわち算術階層の$Δ_2^0$クラスの問題を正確に解ける。
• 古典的および量子的CTCコンピュータの計算パワーは同一であり、$\mathsf{Computable}_{\mathsf{CTC}} = \mathsf{QComputable}_{\mathsf{CTC}} = \mathsf{Computable}^{\mathsf{Halt}}$である。
• すべてのCTC進化が固定点を持つとは限らないが、固定点を持つ部分集合は、固定点分布における無限等比級数を用いて、停止問題を解くのに十分である。
• 量子的CTCの証明は、混合状態の固定点をシミュレートするために、特にリース表現定理を含む関数解析の高度な道具に依存している。
• 多項式的制限付きCTC（PSPACEをもたらす）とは対照的に、制限なしCTCは停止問題オラクルの完全なパワーを発揮する。
• 後選択に基づくCTCモデルは、有限性条件が課されると計算可能言語に限定されるが、そうでなければ停止問題に非適応的還元可能なすべての言語を扱える。