[論文レビュー] Computable Solutions of Fractional Reaction-Diffusion Equations Associated with Generalized Riemann-Liouville Fractional Derivatives of Fractional Orders

R. K. Saxena, A. M. Mathai+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数階数の一般化されたリーマン・リオウビル時間微分とリエシ・フェラー空間微分を有する分数階反応拡散方程式に対して、連立ラプラス変換およびフーリエ変換を用いて、計算可能で閉形式の解を導出する。解は一般化されたミタグ・レフラー関数を用いて表現され、既存の文献における結果を顕著に拡張するものである。

ABSTRACT

This paper is in continuation of the authors’ recently published paper (Journal of Mathematical Physics 55(2014)083519) in which computational solutions of an unified reactiondiffusion equation of distributed order associated with Caputo derivatives as the timederivative and Riesz-Feller derivative as space derivative is derived. In the present paper, computable solutions of distributed order fractional reaction-diffusion equations associated with generalized Riemann-Liouville derivatives of fractional orders as the time-derivative and Riesz-Feller fractional derivative as the space derivative are investigated. The solutions of the fractional reaction-diffusion equations of fractional orders are obtained in this paper. The method followed in deriving the solutions is that of joint Laplace and Fourier transforms. The solutions obtained are in a closed and computable form in terms of the familiar generalized Mittag-Leffler functions. They provide elegant extensions of the results given in the literature.

研究の動機と目的

• 時間方向に分数階数の一般化されたリーマン・リオウビル分数階微分を含む分数階反応拡散方程式の既存の解を拡張すること。
• 一般化されたリーマン・リオウビル時間微分とリエシ・フェラー空間微分を有する分布型分数階反応拡散方程式の挙動を調査すること。
• 数学的物理学分野におけるより広範な応用を可能にするために、積分変換技法を用いて閉形式で計算可能な解を提供すること。
• 時間領域におけるより一般的な分数階微分を組み込むことで、キャプトの微分に基づく先行研究を一般化すること。

提案手法

• 一般化されたリーマン・リオウビル時間微分とリエシ・フェラー空間微分を有する分数階反応拡散方程式を解くために、連立ラプラス変換およびフーリエ変換法を用いる。
• 元の偏微分方程式を変換領域における代数方程式に変換することで解を導出する。
• 一般化されたミタグ・レフラー関数を含む既知の積分表現を用いて逆変換を評価する。
• 得られた解は、数値評価および理論的解析に適した閉形式かつ計算可能な形で表現される。
• 変換の性質により、問題の初期および境界条件と整合性が保証される。
• 時間微分における分数階数の統合を用いることで、分布型方程式の取り扱いが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリーマン・リオウビル時間微分を有する分数階反応拡散方程式は、どのように閉形式で解けるか？
• RQ2 リエシ・フェラー微分は、非対称性を有する空間分数階拡散過程のモデル化において果たす役割は何か？
• RQ3 一般化されたリーマン・リオウビル微分に基づく解は、キャプト微分に基づく解と比べてどのように異なるか？
• RQ4 積分変換法を用いて、分布型分数階反応拡散方程式に対し計算可能な解を得ることは可能か？
• RQ5 一般化されたミタグ・レフラー関数の観点から、解の解析的構造はどのように規定されるか？

主な発見

• 分数階反応拡散方程式の解は、一般化されたミタグ・レフラー関数を用いて、閉形式かつ計算可能な形で表現される。
• 本手法は、一般化されたリーマン・リオウビル定式化を用いることで、分数階数および分布型時間微分の両方を効果的に取り扱える。
• 時間領域におけるより広範な分数階微分クラスを組み込むことで、キャプト微分に基づく先行研究を拡張する。
• 連立ラプラスおよびフーリエ変換の使用により、数値的逆変換を必要とせずに正確な解析的解が得られる。
• 導出された解は、記憶効果および非対称性を有する異常拡散のモデル化のための統一的枠組みを提供する。
• 本結果は、数学的物理学における古典的および分数階拡散解の洗練された一般化を表している。