[論文レビュー] Computation of Optimal Control Problems with Terminal Constraint via Variation Evolution

Sheng Zhang, Bo Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、終端制約を伴う最適制御問題を解くために、最適解を無限次元力学系の平衡状態としてモデル化することで、変化の進化法（VEM）を提案する。この手法は、コストートを用いない条件を用いて、状態変数および制御変数を最適性へと駆動するための進化偏微分方程式（EPDE）を導出し、標準的な積分法を用いた初期値ODE問題への半離散化により数値解を得ることを可能にする。

ABSTRACT

Enlightened from the inverse consideration of the stable continuous-time dynamics evolution, the Variation Evolving Method (VEM) analogizes the optimal solution to the equilibrium point of an infinite-dimensional dynamic system and solves it in an asymptotically evolving way. In this paper, the compact version of the VEM is further developed for the computation of Optimal Control Problems (OCPs) with terminal constraint. The corresponding Evolution Partial Differential Equation (EPDE), which describes the variation motion towards the optimal solution, is derived, and the costate-free optimality conditions are established. The explicit analytic expressions of the costates and the Lagrange multipliers adjoining the terminal constraint, related to the states and the control variables, are presented. With the semi-discrete method in the field of PDE numerical calculation, the EPDE is discretized as finite-dimensional Initial-value Problems (IVPs) to be solved, with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods.

研究の動機と目的

• 終端制約を含む最適制御問題（OCP）のための、コンactかつ効率的な計算フレームワークの構築を目的とする。
• コストートの明示的計算を回避するため、コストートフリーの最適性条件を確立することを目的とする。
• 変化進化を用いて、最適解を無限次元力学系の平衡状態としてモデル化することを目的とする。
• 最適性への漸近的収束を支配する進化偏微分方程式（EPDE）を導出し、解くこと。
• EPDEの半離散化により、有限次元の初期値問題（IVP）に変換し、数値的に解けるようにすること。

提案手法

• 最適解を連続時間力学系の平衡状態としてモデル化することで、OCPに終端制約を含むVEMを拡張する。
• 最適解への安定的かつ漸近的な変化運動を記述するための進化偏微分方程式（EPDE）を導出する。
• コストートフリーの最適性条件を確立し、終端制約に関連するラグランジュ乗数を状態変数および制御変数の関数として直接計算可能にする。
• EPDEを有限差分法または有限要素法を用いて半離散化し、初期値問題（IVP）の系に変換する。
• 標準的な数値ODEソルバーを用いて、得られたIVPを統合し、最適軌道の実用的計算を可能にする。
• 終端制約の力学を進化フレームワークに直接埋め込むことで、二点境界値問題を解く必要を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終端制約を伴う最適制御問題は、どのように最適解への平衡状態への力学的進化に再定式化できるか？
• RQ2 最適性条件からコストート変数を排除しつつ、最適解への収束を保証することは可能か？
• RQ3 最適性への変化進化を支配する進化偏微分方程式（EPDE）の形は何か？
• RQ4 EPDEは、標準的なODE統合法を用いて、解ける初期値問題にどのように半離散化できるか？
• RQ5 明示的なコストート計算が行われない状況下で、終端制約のラグランジュ乗数と状態変数・制御変数の関係は何か？

主な発見

• 提案手法は、終端制約を伴う最適制御問題を、コストートフリーの最適性フレームワークを用いて効果的に定式化できた。
• 終端制約に関連するラグランジュ乗数について、状態変数および制御変数の関数として明示的な解析的表現が導出された。
• 進化偏微分方程式（EPDE）は、最適解へと収束する安定的で漸近的な力学系を提供する。
• EPDEの半離散化により、有限次元の初期値問題（IVP）に変換され、標準的なODE数値法で解けるようになった。
• 二点境界値問題を解く必要がなくなるため、計算手順が簡素化された。
• 理論的導出により手法の有効性が検証され、既存の数値PDEおよびODEソルバーと互換性があることが示された。