[論文レビュー] Computation of time-optimal control problem with variation evolution principle

Sheng Zhang, Weiqi Qian|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、変分進化法（VEM）を用いた時間最適制御問題のための新しい計算的手法を提案する。この手法は、ポントレヤーギンの最小原理（PMP）と偏微分方程式（PDE）の離散化を用いて、最適制御問題を有限次元の初期値問題（IVP）に再定式化する。この方法により、任意の値で初期化可能なIVPを用いることで、境界条件の取り扱いが柔軟化され、標準的なODEソルバを用いた数値例を通じて有効性が示されている。

ABSTRACT

An effective form of the Variation Evolving Method (VEM), which originates from the continuous-time dynamics stability theory, is developed for the classic time-optimal control problem with control constraint. Within the mathematic derivation, the Pontryagin's Minimum Principle (PMP) optimality conditions are used. Techniques including limited integrator and corner points are introduced to capture the right solution. The variation dynamic evolving equation may be reformulated as the Partial Differential Equation (PDE), and then discretized as finite-dimensional Initial-value Problem (IVP) to be solved with common Ordinary Differential Equation (ODE) integration methods. An illustrative example is solved to show the effectiveness of the method. In particular, the VEM is further developed to be more flexible in treating the boundary conditions of the Optimal Control Problem (OCP), by initializing the transformed IVP with arbitrary initial values of variables.

研究の動機と目的

• 制御制約を伴う時間最適制御問題を解くための堅牢な計算フレームワークの構築を目的とする。
• 最適性条件を導出する基盤として、ポントレヤーギンの最小原理（PMP）を活用することを目的とする。
• 変分ダイナミクスを偏微分方程式（PDE）に再定式化し、それを数値解法に適した有限次元の初期値問題（IVP）に離散化することを目的とする。
• 変換されたIVPにおいて任意の初期値を許容することで、境界条件の取り扱いにおける柔軟性を高めることを目的とする。
• 標準的なODE積分技術を用いた数値例を通じて、手法の有効性を検証することを目的とする。

提案手法

• 連続時間ダイナミクスの安定性理論から発展した変分進化法（VEM）を、時間最適制御問題の解法に適応する。
• 制御問題の必要最適性条件を導出するために、ポントレヤーギンの最小原理（PMP）を適用する。
• 変分ダイナミクス進化方程式を、変分の進化をモデル化するための偏微分方程式（PDE）に再定式化する。
• 得られたPDEを有限次元の初期値問題（IVP）に離散化し、数値統合に適した形に変換する。
• 得られたIVPを、標準的な常微分方程式（ODE）積分法を用いて解く。
• 制限付き積分器やコーナーポイント検出技術を用いて、最適制御解の構造を正確に捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分進化法は、制御制約を伴う時間最適制御問題に、どのように効果的に適応可能か？
• RQ2 変分ダイナミクスから解けるIVPを導出可能にするために、ポントレヤーギンの最小原理が果たす役割は何か？
• RQ3 変分進化方程式のPDE定式化を、数値計算に適した有限次元IVPにどのように離散化できるか？
• RQ4 IVPの初期値を任意に設定することで、境界条件の取り扱いにおける柔軟性がどのように向上するか？
• RQ5 本手法は、時間最適制御問題に対する既存手法と比較して、性能および精度の面でどのように差をつけるか？

主な発見

• VEMベースの手法により、PDE離散化を用いて時間最適制御問題が解ける初期値問題に効果的に変換された。
• IVPにおける任意の初期値の許容により、境界条件の取り扱いが柔軟化され、数値的安定性が向上した。
• 制限付き積分器とコーナーポイント検出技術の活用により、バン・バン制御構造の精度が向上した。
• 数値例により、正しい時間最適解に収束することが確認された。
• 複雑な非線形最適化ルーチンを必要とせず、標準的なODEソルバに依存するため、計算が効率的である。
• 同様の構造的性質を有するより複雑な最適制御問題への応用可能性が強く示唆された。