[論文レビュー] Computation of Topological Entropy via $ϕ$-expansion, an Inverse Problem for the Dynamical Systems $βx+α\mod 1$

Bastien Faller, Pfister, Charles-Edouard|Jun 5, 2008

Hermeneutics and Narrative Identity参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、動的系 βx + α mod 1 によって生成されるシフト空間のトポロジカルエントロピーを計算するためのアルゴリズムを、パリーの φ-展開に基づいて提示する。このアルゴリズムは、与えられた記号的系列 u̱ と v̱ から α と β を回復する逆問題を解く。主な貢献は、フォロワーセットグラフを用いたエントロピーの構成的計算法と、与えられた記号的力学系を再現するパラメータ対 (α, β) の新しい特徴付けである。

ABSTRACT

We give an algorithm, based on the $ϕ$-expansion of Parry, in order to compute the topological entropy of a class of shift spaces. The idea is the solve an inverse problem for the dynamical systems $βx+α\mod1$.The first part is an exposition of the $ϕ$-expansion applied to piecewise monotone dynamical systems. We formulate for the validity of the $ϕ$-expansion, necessary and sufficient conditions, which are different from those in Parry's paper.

研究の動機と目的

• すべての n ≥ 0 に対して u̱ ≤ σⁿx ≤ v̱ を満たす記号的制約によって定義されるシフト空間のトポロジカルエントロピーを計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 逆問題を解くこと：記号的系列 u̱ と v̱ が与えられたとき、u̱ = u̱^{α,β} および v̱ = v̱^{α,β} を満たすパラメータ α と β を特定すること。
• パリの元来の結果とは異なる必要十分条件を備えた、区分的単調な力学系における φ-展開理論の拡張。
• 古典的 β-シフトの場合（α = 0）を越えて、βx + α mod 1 写像に関連するシフト空間の構造を特徴付けること。

提案手法

• パリの φ-展開を用いて、写像 T(x) = βx + α mod 1 から導かれる記号的系列に基づく実数の表現を行う。
• シフト空間 Σ(u̱, v̱) の組合せ的構造を解析し、エントロピーを計算するためにフォロワーセットグラフを構築する。
• 命題 3.2 に提示されたアルゴリズムを適用し、シフト空間 Σ(u̱, v̱) のエントロピーと等価なエントロピーを持つ実数パラメータ β̄ と ᾱ を計算する。
• 辞書的順序と無限 φ-級数 φ∞^{α,β}(w̱) を用いて、境界系列 u̱^{α,β} と v̱^{α,β} を特徴付ける。
• φ∞^{α,β}(w̱) = 1 である条件を用いて、シフト空間の境界を定義する極値系列を同定する。
• 記号的力学系とベールのカテゴリー理論の結果を用いて、集合 X\S が T に関して稠密かつ不変であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辞書的順序の下で二つの記号的系列 u̱ と v̱ によって定義されるシフト空間に対して、トポロジカルエントロピーをどのように計算できるか？
• RQ2 区分的単調な力学系における φ-展開の有効性のための必要十分条件は何か？パリの元来の定式化とは異なる。
• RQ3 βx + α mod 1 システムに対して、記号的系列 u̱ と v̱ から α と β をアルゴリズム的に回復できるか？
• RQ4 どのような条件下でシフト空間 Σ(u̱, v̱) がパラメータ α と β を持つ βx + α mod 1 システムに対応するか？
• RQ5 境界系列 u̱^{α,β} と v̱^{α,β} の周期性は、逆問題の可解性にどのように影響するか？

主な発見

• シフト空間 Σ(u̱, v̱) のトポロジカルエントロピーは、命題 3.2 に従って計算される β̄ を用いて log₂β̄ で与えられる。
• シフト空間 Σ(u̱, v̱) は、パラメータ ᾱ と β̄ を用いて生成されるシフト空間と同一のトポロジカルエントロピーを持つ。ここで ᾱ と β̄ は u̱ と v̱ から導かれる。
• k = 2 の場合、ᾱ と β̄ が存在して u̱ = u̱^{ᾱ,β̄} および v̱ = v̱^{ᾱ,β̄} を満たすためには σu̱ ≤ σv̱ が必須である。
• h(Σ(u̱, ŵ)) > 1 である場合、u̱* ≺ v̱ であるならば、u̱ = u̱^{ᾱ,β̄} および v̱ = v̱^{ᾱ,β̄} が成り立つための必要十分条件は β̄ > β̃ である。ここで β̃ は ŵ の φ-展開から得られる。
• u̱^{ᾱ,β̄} と v̱^{ᾱ,β̄} が両方とも周期的である場合、追加の辞書的制約が満たされない限り、逆問題は解をもたない可能性がある。
• アルゴリズムは、シーケンス ŵ = σu̱ に対して φ∞^{ᾱ,β̄}(ŵ) = 1 を満たすように ᾱ と β̄ を正しく同定し、境界条件と整合性を持つことを保証する。