[論文レビュー] Computational Complexity of Uniform Quantum Circuit Families and Quantum Turing Machines

Harumichi Nishimura, Masanao Ozawa|ArXiv.org|Jun 25, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子チューリング機械（QTMs）と一様な量子回路族（QCFs）の計算的同等性を調査し、モンテカルロアルゴリズムにおいては両モデルが同一の複雑度クラスをもたらすことを確立している。一方、ラスベガスアルゴリズムにおいては同等性は未解決であり、可能性として非同等であることも示唆されており、これは量子複雑度理論における重要な未解決問題を示している。

ABSTRACT

Deutsch proposed two sorts of models of quantum computers, quantum Turing machines (QTMs) and quantum circuit families (QCFs). In this paper we explore the computational powers of these models and re-examine the claim of the computational equivalence of these models often made in the literature without detailed investigations. For this purpose, we formulate the notion of the codes of QCFs and the uniformity of QCFs by the computability of the codes. Various complexity classes are introduced for QTMs and QCFs according to constraints on the error probability of algorithms or transition amplitudes. Their interrelations are examined in detail. For Monte Carlo algorithms, it is proved that the complexity classes based on uniform QCFs are identical with the corresponding classes based on QTMs. However, for Las Vegas algorithms, it is still open whether the two models are equivalent. We indicate the possibility that they are not equivalent. In addition, we give a complete proof of the existence of a universal QTM simulating multi-tape QTMs efficiently. We also examine the simulation of various types of QTMs such as multi-tape QTMs, single tape QTMs, stationary, normal form QTMs (SNQTMs), and QTMs with the binary tapes. As a result, we show that these QTMs are computationally equivalent one another as computing models implementing not only Monte Carlo algorithms but exact (or error-free) ones.

研究の動機と目的

• 量子チューリング機械（QTMs）と量子回路族（QCFs）の間の主張された計算的同等性を、文献においてしばしば証明なしに仮定されているが、これを厳密に検証すること。
• コードの計算可能性を通じて一様QCFsの概念を形式化し、精密な複雑度理論的分析を可能にすること。
• 誤差確率および遷移振幅に制約を課した下での、QTMsとQCFsの複雑度クラスを定義し、それらを比較すること。
• 多ターン、単ターン、および2進ターン変種を含む、さまざまなQTMモデルのシミュレーション効率を調査すること。
• ラスベガスアルゴリズムにおいて、QTMsとQCFsが計算的に同等であるかどうかを特定すること、これは量子計算における主要な未解決問題である。

提案手法

• QCFコードの形式的定義を導入し、これらのコードの計算可能性を通じて一様性を定義することで、複雑度理論的分析を可能にする。
• 誤差確率（例：有界誤差、ゼロ誤差）および振幅制約に基づいて、両モデルの複雑度クラスを定義する。
• 多ターンQTMを効率的にシミュレートできる普遍的QTMの存在とその効率性を、構成的シミュレーション技法を用いて証明する。
• 多ターン、単ターン、静止型、正規形、および2進ターンQTMといった複数のQTM変種を分析・比較し、それらが計算的に同等であることを示す。
• 特に誤差有界および正確な計算モデルに対して、古典的複雑度理論の証明技法を量子設定に適応する。
• 還元およびシミュレーションの議論を用いて、QTMsとQCFsから導かれる複雑度クラスを比較し、特にモンテカルロおよびラスベガスの枠組みにおいて検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モンテカルロアルゴリズムにおいて、量子回路族と量子チューリング機械は計算的に同等であるか？
• RQ2 同じ同等性はラスベガスアルゴリズムに対しても成立するのか、それとも計算パワーに根本的な差異がある可能性があるのか？
• RQ3 普遍的量子チューリング機械は、すべての多ターンQTMを効率的にシミュレートできるか？そのシミュレーションの複雑度は何か？
• RQ4 単ターン、静止型、または2進ターンモデルなどの異なるQTM変種は、計算パワーにおいてどのように比較できるか？
• RQ5 一様性は量子回路族においてどのような役割を果たし、その結果として得られる複雑度クラスにどのように影響を与えるか？

主な発見

• モンテカルロアルゴリズムにおいては、一様QCFsによって定義される複雑度クラスは、QTMsによって定義されるものと同一であり、この設定における同等性が確認された。
• 多ターンQTMを効率的にシミュレートできる普遍的QTMの存在が厳密に証明され、QTMモデルの普遍性を支持する。
• 多ターン、単ターン、静止型、正規形、および2進ターンQTMといったさまざまなQTMモデルが、モンテカルロおよび正確（誤差なし）計算の両方において計算的に同等であることが示された。
• 本稿では、ラスベガスアルゴリズムにおけるQTMsとQCFsの同等性が未解決であると特定され、計算パワーに潜在的な非対称性がある可能性を示唆している。
• 計算可能コードを通じた一様QCFsの形式化は、量子回路の複雑度理論的分析にしっかりとした基盤を提供する。
• 有界誤差およびゼロ誤差計算に基づく複雑度クラスが、両モデル間で適切に定義され、比較可能であることが示されたが、ラスベガスの場合を除いてはそうである。