[論文レビュー] Computational Higher Type Theory II: Dependent Cubical Realizability

Carlo Angiuli, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、単純型への立方体実現可能性の枠組みを、依存的かつ高次元型理論へと拡張する。計算的意味解釈を導入し、依存関数型・ペア型、同一性型、経路に 沿った型の強制をサポートする。主な貢献は、閉じたブール型の項が決定的に true または false に評価されることを示す完全性定理の確立であり、高次元型理論における依存的型の最初の操作的意味論を確立する。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers extending Martin-Löf's meaning explanation of dependent type theory to account for higher-dimensional types. We build on the cubical realizability framework for simple types developed in Part I, and extend it to a meaning explanation of dependent higher-dimensional type theory. This extension requires generalizing the computational Kan condition given in Part I, and considering the action of type families on paths. We define identification types, which classify identifications (paths) in a type, and dependent function and pair types. The main result is a canonicity theorem, which states that a closed term of boolean type evaluates to either true or false. This result establishes the first computational interpretation of higher dependent type theory by giving a deterministic operational semantics for its programs, including operations that realize the Kan condition.

研究の動機と目的

• 単純型への立方体実現可能性フレームワークを、依存的かつ高次元型理論へと拡張すること。
• 経路と高次元構造を持つ依存型のための計算的意味解釈を形式化すること。
• 型ファミリーと次元変数の等式制約を扱えるように、Kan合成操作を一般化すること。
• 高次元型と依存的構成を含む状況下で、ブール型の完全性を確立すること。
• 同型型の同一性と型の同型を含む、高次元依存型理論の決定的動作的意味論を提供すること。

提案手法

• 第I部の計算的Kan条件を、経路でインデックス付けられた型ファミリーをサポートできるように一般化する。
• 項間の経路を分類する同一性型を導入し、依存型における経路ベースの推論を可能にする。
• 次元変数間の等式制約を含む、次元コンテキストの概念を拡張する。
• 型線を用いて経路に沿った強制を定義し、特に 0→1（輸送）と自己強制の特別なケースを含む。
• 立方体型システム上で固定点演算子を構成し、同型型の同一性型に対して閉包性を達成する。
• 高次元構造と合成制約を豊かにすることで、依存関数型とペア型の閉包性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体実現可能性は、高次元型理論における依存型をサポートするためにどのように拡張可能か？
• RQ2 型ファミリーと経路でインデックス付けられたインスタンスを扱うために、Kan合成操作にどのような変更が必要か？
• RQ3 経路と高次セルを含む計算フレームワークにおいて、同一性型はどのように意味的に解釈可能か？
• RQ4 経路依存型を含む立方体的設定下で、依存関数型とペア型の計算的挙動はどのようになるか？
• RQ5 高次元型と依存的構成を含む状況下で、ブール型の完全性を保証する決定的動作的意味論を定義可能か？

主な発見

• 本論文は完全性定理を確立する：任意の閉じたブール型の項は、決定的に true または false に評価される。
• 実現可能性解釈は、経路でインデックス付けられた型ファミリーのインスタンス間の線をモデル化することで、依存関数型とペア型をサポートする。
• 同一性型は型内の経路を分類するように定義され、経路ベースの推論をサポートする計算的解釈を持つ。
• Kan合成操作は、追加のチューブ面と次元変数の等式制約を許容するように一般化され、依存コンテキストでの合成を可能にする。
• 立方体型システム上の固定点構成により、同型型の同一性型がサポートされ、このような型に対して閉包性が保証される。
• 形式的立方体型理論（例：Cohen ら、2016）がフレームワーク内ですでに有効であることを示す、代表的な規則の明示的導出により、証明理論が正当化される。