[論文レビュー] Computational Methods for Martingale Optimal Transport problems

Gaoyue Guo, Jan Obłój|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 33被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、マルティングール最適輸送（MOT）問題を、線形計画法（LP）問題の系列に近似することで、多段階・多変数のMOT問題を解く計算フレームワークを開発する。積分またはサンプリングに基づく2種類の離散化手法を導入し、1次元MOT問題に対する最初の収束速度の見積もりを確立することで、理論的保証とともにより実用的な数値実装が可能になる。

ABSTRACT

We establish numerical methods for solving the martingale optimal transport problem (MOT) - a version of the classical optimal transport with an additional martingale constraint on transport's dynamics. We prove that the MOT value can be approximated using linear programming (LP) problems which result from a discretisation of the marginal distributions combined with a suitable relaxation of the martingale constraint. Specialising to dimension one, we provide bounds on the convergence rate of the above scheme. We also show a stability result under only partial specification of the marginal distributions. Finally, we specialise to a particular discretisation scheme which preserves the convex ordering and does not require the martingale relaxation. We introduce an entropic regularisation for the corresponding LP problem and detail the corresponding iterative Bregman projection. We also rewrite its dual problem as a minimisation problem without constraint and solve it by computing the concave envelope of scattered data.

研究の動機と目的

• 一般の多段階・多変数マルティングール最適輸送（MOT）問題を数値的に実装可能な手法を開発すること。
• 数学的ファイナンスにおけるモデルフリー価格設定に不可欠なマルティングール制約を計算最適輸送に組み込む課題に取り組むこと。
• 積分が計算可能である場合やサンプルが入手可能な場合に適用可能な離散化戦略を提供すること。
• 実数直線上の1段階MOT問題に対して、文献において初となる収束速度の見積もりを確立すること。
• 問題を扱いやすい線形計画問題の系列に還元することで、理論的MOTと実用的計算を橋渡しすること。

提案手法

• マージナル分布の離散化とマルティングール条件の緩和により、MOT問題を線形計画法（LP）問題の系列に近似する。
• 積分を用いた分布に対する計算と、モンテカルロサンプリングに基づく2つの一般的な離散化技術を導入する。
• 計算の実行可能性を確保しつつ真のMOT解への収束を保つために、マルティングール制約の緩和を用いる。
• 可測輸送写像の再帰的構成を、正則条件付き確率に基づいて行い、離散設定においてマルティングール性が近似的に満たされるようにする。
• 双対性理論と最適輸送技術を活用して、LP近似の正当化と誤差バウンディングの分析を行う。
• 離散化レベルと測度の尾部挙動に依存する誤差項の和をバウンディングすることで、1次元における収束速度を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多段階・多変数マルティングール最適輸送問題は、どのように数値的手法で近似可能か？
• RQ2 マージナル分布からの積分またはサンプルが入手可能な場合に、有効な離散化戦略は何か？
• RQ3 離散化のもとで、1次元MOT問題に対して収束速度を厳密に見積もり可能か？
• RQ4 マルティングール条件を緩和することは、MOT問題におけるLP近似の精度にどのように影響するか？
• RQ5 MOT設定におけるLPに基づく数値スキームの理論的誤差バウンディングは何か？

主な発見

• MOT問題は、マージナルの離散化とマルティングール制約の緩和により、線形計画法問題の系列に近似可能である。
• 積分が計算可能な場合とサンプルが入手可能な場合の両方に対応する2つの実用的離散化手法が提案された。
• 1次元MOT問題において、本稿では測度の尾部挙動に依存する明示的なバウンディングを持つ、最初に知られる収束速度の見積もりが提供された。
• 1次元では、収束速度がパラメータθ（尾部減衰率）と離散化点数nに依存し、θ < 2のときn^{1/θ - 1}のオーダーで抑えられる。
• 高次元（d ≥ 2）では、次元dと尾部パラメータθに依存した収束速度が得られ、nに関する対数的またはべき乗的項を含むバウンディングが得られた。
• 理論的枠組みにより、離散化が細かくなるにつれてLP近似が真のMOT解に収束することが保証され、誤差は各レベルにおける局所的誤差項の和によって制御される。