[論文レビュー] Computations for symbolic substitutions

D. M. Rust, Scott Balchin|arXiv (Cornell University)|May 30, 2017

semigroups and automata theory参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、符号的力学系における記号的置換の解析を支援する使いやすい計算ツールGroutを提示する。主な目的は、コhomologyなどの位相的不変量の計算や、強い一致予想の検証である。著者らは、固有値の絶対値が単位円上、内側、外側にあるかを決定的アルゴリズムでチェックする手法を実装し、3文字および4文字の置換について30万件を超える大規模な探索を実施。強い一致予想の反例は得られなかった。

ABSTRACT

We provide a survey of results from symbolic dynamics and algebraic topology relating to Grout, a new user-friendly program developed to calculate combinatorial properties and topological invariants of a large class of symbolic substitutions. We study their subshifts (and related spaces) with an emphasis on examples of computations. We implement a check to verify that no counterexample exists to the so-called "strong coincidence conjecture" for a large number of substitutions on three and four letters.

研究の動機と目的

• 記号的置換およびその位相的不変量の解析を支援する使いやすい計算ツールGroutの開発。
• 置換行列の固有値が単位円上、内側、外側にあるかを検証する、堅牢で決定的なアルゴリズムの実装。
• 3文字および4文字のアルファベットにおける、非可約ピゾト置換に対する強い一致予想の反例を探索する大規模な計算的調査。
• 記号的力学系およびタイリング理論の理論的研究を支援し、予想の効率的検証と図の自動生成を可能にする。
• 研究者が置換系の組合せ的および位相的性質を探索できる、スケーラブルでアクセス可能なプラットフォームの提供。

提案手法

• 標準的な浮動小数点固有値ソルバーの限界を克服するため、しきい値に基づく収束法を用いて、固有値の絶対値が単位円に対してどうかを決定的数値チェックする。
• 置換規則を置換および逆順にした上で辞書式順序で並べ替えることで、3文字および4文字のアルファベットにおける置換を体系的に列挙する。
• 標準的な線形代数的手法を用いて固有値を計算し、置換行列のℤ上での非可約性をチェックする。
• Anderson-Putnam複体構成法を用いて、置換に付随するタイリング空間のČechコhomologyを計算する。
• 原始的置換の認識可能性をチェックする完全に決定的なアルゴリズムを適用し、手計算およびプログラム的利用に適している。
• トポロジカル複体のTikZコードを自動生成し、LaTeXにエクスポートしてタイプセットする仕組みを統合することで、再現性と可視化を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高利用率を備えた計算ツールを設計し、記号的置換のコhomologyおよびその他の不変量を効率的に計算できるか？
• RQ2 非可約ピゾト置換について、3文字および4文字のすべてのケースで強い一致予想が成り立つか？
• RQ3 固有値が正確に単位円上にある境界ケースにおいて、数値的固有値計算を信頼できるものにできるか？
• RQ4 任意の置換系において、強い一致が出現するまでの反復回数に有限の上限が存在するか？
• RQ5 一致形成までの反復回数のパターンから、次第に多くのステップを要する無限族の置換が存在する可能性を示唆できるか？

主な発見

• 非可約ピゾト置換である12,573,955個を含む、最初の321,425,442個の3文字置換において、強い一致予想の反例は発見されなかった。
• 非可約ピゾト置換である15,001個を含む、最初の200,399個の4文字置換において、強い一致予想の反例は発見されなかった。
• すべてのテスト済み置換において、強い一致に到達するのに要した最大反復回数は11回であり、10回の反復を要した置換は2つにとどまった。
• 反復回数の分布は急激に減少しており、1回の反復で一致に到達した置換は1,921,144個に上ったが、9回の反復を要したのはたった3つのみであった。
• 10回の反復を要した2つの置換は明示的に列挙された：0↦2011, 1↦02, 2↦0 および 0↦212101, 1↦0, 2↦1。
• 『記録更新』置換から明確なパターンは得られず、任意に多くの反復を要する無限族の構成は不可能であった。