[論文レビュー] Tiling Spaces, Codimension One Attractors and Shape

Alexander Clark, John Hunton|arXiv (Cornell University)|May 4, 2011

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 36被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、力学系におけるcodimension one拡張吸引子と非周期的タイル張り空間の間の深い位相的関係を確立し、このような吸引子が有限個の点を除いた(d+1)-トーラス（非可定向な場合は2重被覆をとる）と形状同値であることを示している。同様に、同一のコhomologyを持つタイル張りを区別できる新しいホモロジー的不変量を導入し、1次元射影タイル張りのみがcodimension one吸引子として現れ得ることを証明しており、ペンローズタイルのような高次内部次元を持つタイル張りは除外される。

ABSTRACT

We show that any codimension one hyperbolic attractor of a diffeomorphism of a (d+1)-dimensional closed manifold is shape equivalent to a (d+1)-dimensional torus with a finite number of points removed, or, in the non-orientable case, to a space with a 2 to 1 covering by such a torus-less-points. Furthermore, we show that each orientable attractor is homeomorphic to a tiling space associated to an aperiodic tiling of Rd, but that the converse is generally not true. This work allows the definition of a new invariant for aperiodic tilings, in many cases finer than the cohomological or K-theoretic invariants studied to date.

研究の動機と目的

• 力学系におけるcodimension one拡張吸引子の位相的構造を特定すること。
• クライスタルや置換規則から生じる非周期的タイル張り空間と、このような吸引子との関係を調査すること。
• 閉多様体上の微分同相写像の吸引子として実現可能なタイル張り空間に課される位相的制約を同定すること。
• ČechコホモロジーまたはK理論よりも細かい不変量である、非周期的タイル張りのための新しいホモロジー的不変量を開発すること。
• 内部次元やコホモロジー的障害との関連において、どのタイル張り空間がcodimension one吸引子として埋め込めるかを分類すること。

提案手法

• 形状理論を用いて、位相同相ではなく形状同値性に注目して吸引子とタイル張り空間を比較する。
• ウィリアムズ理論の逆極限構成を応用し、分岐多様体上の拡張写像による逆極限として吸引子をモデル化する。
• Mayer-Vietoris完全系列を用いて、有限個の点を除いたトーラスと位相的に同相な空間のČechコホモロジーを計算する。
• 正規射影タイル張りの文脈における群ホモロジー系列から導かれるホモロジー代数的手法により、新しい不変量を導入する。
• 有理数係数におけるコホモロジーの転送写像を用いて、非可定向な場合の2重被覆構造を分析する。
• [15]における群ホモロジーの結果を応用し、射影タイル張り空間のH¹(Ω)のランクを計算し、それがn + d以上であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのタイル張り空間が、閉多様体上の微分同相写像のcodimension one拡張吸引子として現れるか？
• RQ2 codimension one拡張吸引子の形状型は何か？ そして、それが吸引子のコホモロジーにどのように制約を課えるか？
• RQ3 同一のČechコホモロジーを持つ2つの非周期的タイル張りを、より細かい不変量で区別できるか？ もしそうなら、どのように区別できるか？
• RQ4 内部次元n > 1の正規射影タイル張りがなぜcodimension one吸引子として実現できないのか？
• RQ5 タイル張り空間がcodimension one吸引子として埋め込めないような位相的障害は何か？

主な発見

• 可定向なcodimension one拡張吸引子は、有限個の点を除いた(d+1)次元トーラスと形状同値である。
• 非可定向なcodimension one拡張吸引子は、有限個の点を除いた(d+1)次元トーラスの2対1被覆を許す空間と形状同値である。
• 可定向な吸引子のČechコホモロジーは、k個の点を除いた(d+1)次元トーラスと同型であり、0 ≤ p < d に対してH^p(A) = Z^{(d+1 choose p)}、H^d(A) = Z^{d+k}、p > d に対してH^p(A) = 0 が成り立つ。
• 非可定向な場合、H^*(A; Q)の自由部分は被覆空間のコホモロジーに含まれており、転送写像によりH^1(A; Q)の次元は最大でd+1であることが示される。
• codimension one吸引子と形状同値であるためには、H^1(Ω; Q)の次元がd+1でなければならない。これは内部次元nがn = 1に制限されることを意味する。
• 内部次元n > 1の正規射影タイル張りは、d > 0のときH^1(Ω; Q)のランクがn + d > d + 1となるため、codimension one吸引子にはなり得ない。