[論文レビュー] Computing a categorical Gromov-Witten invariant

Andrei Căldăraru, Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ポリシュチュクの循環的 $τ$-代数モデルを介して、楕円曲線の導来圏にコストェロの形式的体系を適用することにより、非自明な正の genus のカテゴリカル・グロモフ＝ウィッテン不変量を初めて計算した。この計算により、シンプレクティック2次元トーラスの古典的 genus-one グロモフ＝ウィッテン汎関数と一致する B-モデル不変量が得られ、ミラー対称性の予測を確認し、高 genus カテゴリカル不変量の基礎的例を確立した。

ABSTRACT

We compute the $g=1, n=1$ B-model Gromov-Witten invariant of an elliptic curve E directly from the derived category D(E). More precisely, we carry out the computation of the categorical Gromov-Witten invariant defined by Costello using as target a cyclic $A_\infty$ model of D(E) described by Polishchuk. This is the first non-trivial computation of a positive genus categorical Gromov-Witten invariant, and the result agrees with the prediction of mirror symmetry: it matches the classical (non-categorical) Gromov-Witten invariants of a symplectic 2-torus computed by Dijkgraaf.

研究の動機と目的

• 楕円曲線 $E_\tau$ の $g=1$, $n=1$ B-モデルカテゴリカル・グロモフ＝ウィッテン不変量をコストェロの形式的体系を用いて計算すること。
• 非自明なターゲットカテゴリを持つ正の genus のカテゴリカル・グロモフ＝ウィッテン不変量の初回の明示的計算を提供すること。
• その結果が、ミラー対称性によって予測されるシンプレクティック2次元トーラスの古典的グロモフ＝ウィッテン不変量と一致することを検証すること。
• ホモロジー的ミラー対称性の文脈において、高 genus 不変量の計算フレームワークを確立すること。

提案手法

• 循環的 $\mathscr{A}_\infty$ 代数に対するコストェロのカテゴリカル・グロモフ＝ウィッテン不変量の定義を用いる。
• ターゲットカテゴリとして、$\mathsf{D}_{\mathsf{coh}}^b(E_\tau)$ のポリシュチュクの $\mathscr{A}_\infty$ モデルを採用する。
• ホッフシャイルドホモロジーにおけるストリング頂点を表すために、平坦な鎖 $\alpha^{\mathsf{GM}}$ と修正された鎖 $\alpha^{\mathsf{mod}}$ を構成する。
• ゲッツラー＝ガウス＝ミン・接続を用いて、上へ上げた類 $[\tilde{\xi}^{\mathsf{mod}}]$ の共変微分を、2つの異なる接続 $\nabla^{\mathsf{std}}$ と $\nabla^{\mathsf{mod}}$ を用いて計算する。
• 2つの $\nabla^{\mathsf{GGM}}_{\partial_\tau}(\tilde{ξ}^{\mathsf{mod}})$ の表現を比較し、ホッフシャイルドホモロジー内での関係を導出する。
• HKR同型写像とコーデイラ＝スペンサー類を用いて、類 $[\delta]$ を特定し、正規化定数 $c(\tau)$ を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コストェロのカテゴリカル・グロモフ＝ウィッテン不変量は、正の genus において、非点的かつ非自明なターゲットカテゴリに対して明示的に計算可能か？
• RQ2 楕円曲線の導来圏から得られるカテゴリカル不変量は、ミラー対称性によって予測される古典的グロモフ＝ウィッテン不変量と一致するか？
• RQ3 この不変量のモジュラー性は、楕円曲線の複素構造とどのように関係しているか？
• RQ4 $\mathscr{A}_\infty$ 代数上の接続が、ホッフシャイルドホモロジー上のガウス＝ミン・接続の計算に果たす役割は何か？

主な発見

• 楕円曲線 $E_\tau$ の $g=1$, $n=1$ B-モデルカテゴリカル・グロモフ＝ウィッテン不変量は、$F_{1,1}^\mathsf{B}(\tau) = -\frac{1}{24}E_2(\tau)$ として計算され、古典的 A-モデル不変量と一致する。
• ホッフシャイルドホモロジー $\operatorname{HH}_1(A_\tau)$ 内の類 $[\delta]$ は、$[\delta] = -\frac{1}{2\pi i(\tau - \bar{\tau})}[\Omega]$ と特定され、ここで $[\Omega]$ は標準類である。
• この計算により、ミラー写像 $q = \exp(2\pi i \tau)$ の下で、カテゴリカル不変量が古典的グロモフ＝ウィッテン汎関数を回復することが確認された。
• 修正された接続 $\nabla^{\mathsf{mod}}$ は、ガウス＝ミン・接続の計算を簡略化するために構成され、$\partial_\tau \mu^*$ を含む洗練された表現が得られた。
• 正規化定数 $c(\tau)$ は、$c(\tau) = -\frac{1}{2\pi i(\tau - \bar{\tau})}$ と決定され、複素幾何学からの期待される振る舞いと一致する。
• $\alpha^{\mathsf{mod}}$ からのモジュラー分解は、複素代数幾何学における複素共役分解に対応し、既知の幾何的構造と整合性があることが確認された。