[論文レビュー] Mirror symmetry: from categories to curve counts

Sheel Ganatra, Timothy Perutz+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、サイクル的オープン・クローズド写像——変化する半無限Hodge構造の準同型——を用いて、Kontsevichのホモロジカル鏡映対称性が5次3-fold上の有理曲線の数え上げ予測を含む古典的鏡映対称性を示すことを証明することで、ホモロジカル鏡映対称性とHodge理論的鏡映対称性の間の橋渡しを確立する。この写像により、フォイカビカテゴリの標準的カラビ＝ヤウ構造が、鏡側のHodge理論的に正規化された正則体積形式に対応し、鏡写像が固定され、$\epsilon$-不確かさが符号にまで縮小される。

ABSTRACT

We work in the setting of Calabi-Yau mirror symmetry. We establish conditions under which Kontsevich's homological mirror symmetry (which relates the derived Fukaya category to the derived category of coherent sheaves on the mirror) implies Hodge-theoretic mirror symmetry (which relates genus-zero Gromov-Witten invariants to period integrals on the mirror), following the work of Barannikov, Kontsevich and others. As an application, we explain in detail how to prove the classical mirror symmetry prediction for the number of rational curves in each degree on the quintic threefold, via the third-named author's proof of homological mirror symmetry in that case; we also explain how to determine the mirror map in that result, and also how to determine the holomorphic volume form on the mirror that corresponds to the canonical Calabi-Yau structure on the Fukaya category. The crucial tool is the `cyclic open-closed map' from the cyclic homology of the Fukaya category to quantum cohomology, defined by the first-named author in [Gan]. We give precise statements of the important properties of the cyclic open-closed map: it is a homomorphism of variations of semi-infinite Hodge structures; it respects polarizations; and it is an isomorphism when the Fukaya category is non-degenerate (i.e., when the open-closed map hits the unit in quantum cohomology). The main results are contingent on works-in-preparation [PS,GPS] on the symplectic side, which establish the important properties of the cyclic open-closed map in the setting of the `relative Fukaya category'; and they are also contingent on a conjecture on the algebraic geometry side, which says that the cyclic formality map respects certain algebraic structures.

研究の動機と目的

• カラビ＝ヤウ3foldにおけるホモロジカル鏡映対称性と記数的（曲線数え上げ）鏡映対称性の間の厳密な関係を確立すること。
• フォイカビカテゴリ上の標準的カラビ＝ヤウ構造が鏡側のHodge理論的に正規化された体積形式に対応することを示すことにより、鏡写像と正則体積形式における不確かさを解消すること。
• ホモロジカル鏡映対称性を用いて、5次3fold上のGenus-zero Gromov-Witten不変量（有理曲線の数え上げ）を体系的に計算する方法を提供すること。
• 量子接続の平坦セクションとしての量子コホモロジーの自然基底を特徴づけ、構造の鏡対応を可能にすること。

提案手法

• フォイカビカテゴリの循環ホモロジーから量子コホモロジーへのサイクル的オープン・クローズド写像を用い、これが変化する半無限Hodge構造（VSHS）の準同型であることを示す。
• ホモロジカル鏡映対称性によって誘導される、シンプレクティック（Aモデル）と代数幾何的（Bモデル）側のVSHS構造の同型に依拠する。
• サイクル的オープン・クローズド写像の極化およびモノドロミー重みフィルトレーションの性質を適用し、Hodge理論的構造と整合することを保証する。
• フォイカビカテゴリが非退化であるとき、サイクル的オープン・クローズド写像が同型であるという事実を用い、シンプレクティック側から代数的側への構造の完全な転送を保証する。
• ゲッツラー＝ガウス＝ミン接続と高次留数ペアリングを用いて、量子コホモロジーとそのHodge構造との整合性を分析する。
• 鏡体積形式における$\epsilon$-不確かさを、主項Yukawa結合子を$(-1)^{n(n+1)/2} \int_X \omega^n$に一致させることで固定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジカル鏡映対称性は、5次3fold上の有理曲線の数え上げ予測を含む古典的鏡映対称性を含意するか？
• RQ2 フォイカビカテゴリ上の標準的カラビ＝ヤウ構造から、鏡写像を一意に特定することは可能か？
• RQ3 フォイカビカテゴリ上の標準的カラビ＝ヤウ構造に対応する鏡ファミリー上の相対的体積形式はどれか？
• RQ4 Hodge理論的正規化された体積形式を用いることで、鏡写像における$\epsilon$-不確かさを解消できるか？
• RQ5 オープン・クローズド写像下での、量子コホモロジーの自然基底と鏡側のコホモロジーとの正確な対応関係は何か？

主な発見

• サイクル的オープン・クローズド写像は、変化する半無限Hodge構造の準同型であり、極化を尊重する。
• フォイカビカテゴリが非退化であるとき、サイクル的オープン・クローズド写像は同型であり、シンプレクティック側から代数的側への構造の完全な転送が保証される。
• フォイカビカテゴリ上の標準的スムーズカラビ＝ヤウ構造は、Hodge理論的に正規化されており、鏡体積形式における不確かさが符号にまで縮小される。
• 鏡体積形式は、主項Yukawa結合子を$(-1)^{n(n+1)/2} \int_X \omega^n$に一致させることで一意に決定され、残りの$\epsilon^*$-不確かさが符号にまで縮小される。
• フォイカビカテゴリと一様なコherent層の導来カテゴリの同値性は、スムーズかつ固有のカラビ＝ヤウカテゴリの同値性であり、鏡構造はHodge理論的に正規化された体積形式に対応する。
• 量子接続の平坦セクション$H^\bullet(X;\BbbK_A)$は、正確に$H^\bullet(X;\BbbC)\subset H^\bullet(X;\BbbK_A)$に対応し、Gromov-Witten不変量の標準基底を提供する。