[論文レビュー] Computing A1-Euler numbers with Macaulay2

Sabrina Pauli|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Macaulay2を用いた計算フレームワークを提示し、Grassmannian上のベクトル束のA¹オイラー数を、体k上のGrothendieck-Witt環GW(k)における豊か化された数え上げを用いて計算する。特に、QおよびF_p上でのベクトル束Sym³S*→Gr(2,4)のA¹オイラー数が15⟨1⟩+12⟨−1⟩であることを、ヤコビアン行列式とトレース形式による局所A¹次数の計算により、新たな証明を与える。この手法により、Fuchsian特異点のA¹ミルナー数の明示的計算が可能となる。

ABSTRACT

We use Macaulay2 for several enriched counts in GW(k). First, we compute the count of lines on a general cubic surface using Macaulay2 over Fp in GW(Fp) for p a prime number and over the rational numbers Q in GW(Q). This gives a new proof for the fact that the count of lines on a cubic surface is 3+12h in GW(k) where h denotes the hyperbolic form. Then, we compute the count of lines in P3 meeting 4 general lines, the count of lines on a quadratic surface meeting one general line and the count of singular elements in a pencil of degree d-surfaces. Finally, we provide code to compute the EKL-form and compute several A1-Milnor numbers.

研究の動機と目的

• QおよびF_p上でのベクトル束Sym³S*→Gr(2,4)のA¹オイラー数の計算的証明を、Macaulay2を用いて行う。
• 有限体および数体上での局所A¹次数とトレース形式を用いて、GW(k)における豊か化された数え上げがどのように計算可能かを示す。
• 本手法を、P³内の4本の一般の直線と交わる直線の数や、二次曲面上の直線の数といった、他の幾何的数え上げへのA¹オイラー数の計算へと拡張する。
• EKL形式を用いてFuchsian特異点のA¹ミルナー数を計算し、Macaulay2による結果の検証を行う。

提案手法

• Macaulay2を用いて、Gr(2,4)のアフィン開部分集合上に制限された切断σ_Fのヤコビアン行列式を計算する。これはP³内の直線に対応する。
• 各切断の零点（すなわち、立方曲面上の直線）に対して、剰余体におけるヤコビアン行列式のトレースとして局所A¹次数を計算する。
• GW(F_j)におけるこれらのトレース形式の和としてA¹オイラー数を構成し、その後トレース写像を介してGW(k)におけるものへと移行する。
• F_p上では、得られた形式のランクと判別式を計算し、GW(F_p)における類を特定する。
• Q上では、形式のグラム行列を計算し、その符号を評価して実オイラー数を決定する。
• ウィット値付き特徴類の理論とEKL形式を用いて、特異点のA¹ミルナー数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QおよびF_p上でのベクトル束Sym³S*→Gr(2,4)のA¹オイラー数は何か？ また、Macaulay2を用いたアルゴリズム的計算が可能か？
• RQ2 GW(k)における豊か化された数え上げを用いて、古典的な27本の直線がGW(k)における符号を伴って回復可能か？
• RQ3 EKL形式とMacaulay2を用いて、超曲面特異点のA¹ミルナー数はどのように計算可能か？
• RQ4 P³内の4本の一般の直線と交わる直線に対応するベクトル束⨁_{i=1}^4 ∧²S*→Gr(2,4)のA¹オイラー数の構造は何か？
• RQ5 本手法は、A¹オイラー数の分類におけるタイプ(2)とタイプ(3)を区別できるか？

主な発見

• F_32003上でのSym³S*→Gr(2,4)のA¹オイラー数は、ランク27、判別式1の形式として計算され、GW(F_32003)において15⟨1⟩+12⟨−1⟩に一致することが確認された。
• Q上では、A¹オイラー数の符号が3、ランクが27であり、Qにおいて2が平方でないため、形式は15⟨1⟩+12⟨−1⟩に一致する。これは[KW17]の結果に対する新たな証明を提供する。
• P³内の4本の一般の直線と交わる直線の数は、GW(F_11)におけるe^A¹(⨁_{i=1}^4 ∧²S*→Gr(2,4))として計算され、有理直線1本、2次拡張1つ、8次拡張3つが得られた。
• Fuchsian特異点のA¹ミルナー数が計算され、その結果（例：μ^A¹(E_12) = 6H、μ^A¹(Z_11) = 5H + ⟨−6⟩）がリストアップされた。
• 本手法は、複数の特異点に対してEKL形式とトレース形式を効果的に計算でき、再現可能性を確保するためのMacaulay2コードが提供された。
• F_11上での計算により、局所次数が1次、2次、8次拡張に対応しており、直線数の幾何的分解が確認された。