[論文レビュー] A^1-Euler classes: six functors formalisms, dualities, integrality and linear subspaces of complete intersections

Tom Bachmann, Kirsten Wickelgren|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 55被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、代数的ベクトル束のA¹-オイラー類の複数の定義の同値性を確立し、連接双対性、ポincare-Hopf理論、Scheja-Storch局所指数のアプローチを統合する。これらのオイラー類がグローテンディーク・ウィット群に整数的であることを証明し、実数および複素数上のトポロジカル・オイラー特性を用いて、完全交差における線形部分空間の算術的数え上げを計算する。

ABSTRACT

We equate various Euler classes of algebraic vector bundles, including those of [BM, KW, DJK], and one suggested by M.J. Hopkins, A. Raksit, and J.-P. Serre. We establish integrality results for this Euler class, and give formulas for local indices at isolated zeros, both in terms of 6-functor formalism of coherent sheaves and as an explicit recipe in commutative algebra of Scheja and Storch. As an application, we compute the Euler classes associated to arithmetic counts of d-planes on complete intersections in P^n in terms of topological Euler numbers over R and C.

研究の動機と目的

• 連接双対性、Poincaré-Hopf理論、Scheja-Storch局所指数から定義されるA¹-オイラー類の異なる定義を統一すること。
• 体kおよびより一般的な基底スキームに対して、グローテンディーク・ウィット群GW(k)におけるA¹-オイラー類の整数性を確立すること。
• 6ファンクター形式および可換代数的手法を用いて、孤立したゼロを持つセクションの局所指数について明示的な公式を導出すること。
• 理論をグリーンマンニアンおよび完全交差に適用し、トーラスの対称冪と算術的数え上げを用いてオイラー数を計算すること。
• KO理論における豊か化されたオイラー特性を通じて、これらの算術的数え上げと実数および複素数上のトポロジカル・オイラー数との関係を明らかにすること。

提案手法

• 連接層の6ファンクター形式を用いて、異なるコホロロジー理論におけるオイラー類の定義と比較を行う。
• 連接双対性を適用し、トレース写像η_f: H^n(X, ω_{X/k}) → k を構成することで、グローテンディーク–セール双対性オイラー数を定義する。
• Scheja–Storchの公式を用いて、孤立ゼロを持つセクションの局所指数を計算し、それらをGW(k)の元として表現する。
• ラインバンドルLと同型写像ρ: det V ⊗ ω_{X/k} → L^{⊙ 2} を用いて相対的向きを導入し、GW(k)におけるオイラー類を定義する。
• モチーフコホロロジーとフレームド対応の「ヨガ」を用いて、A¹-オイラー類をKO理論に関連付ける。
• 理論をグリーンマンニアンおよび完全交差に適用し、対称冪と算術的数え上げを用いてオイラー数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連接双対性、Poincaré-Hopf理論、Scheja-Storch局所指数によって定義されるA¹-オイラー類は、どのように相互に関係しているか？
• RQ2 A¹-オイラー類がグローテンディーク・ウィット群GW(k)に整数的であるための条件は何か？
• RQ3 孤立ゼロを持つセクションの局所指数は、可換代数および6ファンクター形式を用いて明示的に計算可能か？
• RQ4 A¹-オイラー類を用いて、射影空間内の完全交差上の線形部分空間の算術的数え上げをどのように計算できるか？
• RQ5 GW(k)における豊か化されたオイラー特性と、実数および複素数上のトポロジカル・オイラー数との関係は何か？

主な発見

• 次元nの滑らかで、かつk-スキームXが滑らかかつ固有で、相対的に向き付けられたベクトルバンドルVと、孤立したゼロしか持たないセクションσに対して、Poincaré-Hopfオイラー数n^PH(V,σ)とグローテンディーク–セール双対性オイラー数n^GS(V)は等しい。
• A¹-オイラー類はGW(k)において整数的であり、そのW(k) = GW(k)/Jへの像はn·hで与えられる。ここでhは双曲的形式であり、Jは代数的形態によって生成されるイデアルである。
• k(x) = kを満たす単純なゼロxに対して、局所指数は⟨Jac σ(x)⟩で与えられ、これはσのヤコビアンによって定まるランク1の双線形形式である。
• 理論により、完全交差にパラメトライズされるd-平面をパラメトライズするトートロジカルバンドルのオイラー類が、局所指数の和として表現される。
• P^n内の完全交差上でのd-平面の算術的数え上げは、GW(k)における局所指数の和として表現され、これは複素数上のトポロジカル・オイラー数および実数上のオイラー特性と一致する。
• A¹-オイラー類のKO理論における像は、実数および複素数上のトポロジカル・オイラー数によって決定され、モチーフ的不変量とトポロジカル不変量を結ぶ。