[論文レビュー] Computing Complex Dimension Faster and Deterministically

J. Maurice Rojas|ArXiv.org|May 3, 2000

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式系によって定義される代数的集合の複素次元を計算する決定的アルゴリズムを提示し、最近の確率的結果と一致する顕著に改善された算術的複雑度の上限を達成する。この手法は、洗練された有理関数一元表現（RUR）と多項式根系の有効な境界に依存しており、主な貢献として明示的な複雑度推定と、一般化リーマン仮説（GRH）の下での超曲面の空集合性を示す条件付きアルゴリズムの改善が含まれる。

ABSTRACT

We give a new complexity bound for calculating the complex dimension of an algebraic set. Our algorithm is completely deterministic and approaches the best recent randomized complexity bounds. We also present some new, significantly sharper quantitative estimates on rational univariate representations of roots of polynomial systems. As a corollary of the latter bounds, we considerably improve a recent algorithm of Koiran for deciding the emptiness of a hypersurface intersection over the complex numbers, given the truth of the Generalized Riemann Hypothesis (GRH).

研究の動機と目的

• 先行文献において非確率的で効率的な手法が不足している状況を克服し、代数的集合の複素次元を決定的に計算するアルゴリズムを開発すること。
• 多項式系の根の有理関数一元表現（RUR）に関する鋭い定量的推定を提供し、より緊密な複雑度解析を可能にすること。
• 一般化リーマン仮説（GRH）の下で、複素超曲面の交差の空集合性を決定するKoiranの条件付きアルゴリズムを改善すること。
• GRHの下で、系が根を持つ素数の密度を支配する、明示的かつビットサイズに有界な定数 $a_F$ と $A_F$ を導出すること。
• 入力多項式のスパースサイズに関して、次元計算の複雑度境界を、二次未満に抑えること。

提案手法

• アルゴリズムは、入力多項式の指数ベクトルの凸包の体積 $V_F$ における算術演算を用いて、複素次元 $\dim Z_F$ を計算する。
• 多変数系を一変数多項式 $h_F$ に還元するために、有理関数一元表現（RUR）を用いる。その次数は $V_F$ で上限が与えられる。
• 有効なチェボタレフ密度定理のバージョンと、Oesterléによる明示的境界を用いて、系が根を持つ素数の分布を推定する。
• 一般化リーマン仮説（GRH）を適用し、十分に大きな $t$ に対して、$A_F t^3$ から $A_F (t+1)^3$ の区間内に、系が $\mathbb{F}_p$ で根を持つような素数 $p$ が存在することを保証する。
• 代数的数の判別式と対数高さの境界を用いて、キーとなるパラメータ $a_F$ と $A_F$ のビットサイズを制御する。
• 判別式が0になる場合に対処するため、$h_F$ の平方因子を除いた形に変換することで技術的修正を施し、密度推定の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的集合の複素次元は、最近の確率的アルゴリズムと同等の複雑度境界を持つ決定的アルゴリズムで計算可能か？
• RQ2 多項式系の有理関数一元表現（RUR）に関する、最も鋭い定量的境界は何か？
• RQ3 KoiranのGRHに基づく素数密度法は、$\mathbb{C}$ 上での可能性テストに用いる明示的かつ有効な定数を導くようにどのように洗練できるか？
• RQ4 スパース入力サイズと $V_F$ などの幾何的不変量を用いた、$\dim Z_F$ の計算における正確なビットサイズ複雑度は何か？
• RQ5 GRHの下で、系が根を持つ素数 $p$ の集合が有限個（不可能な場合）または正の密度（可能の場合）であるような、明示的定数 $a_F$ と $A_F$ を導出可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、$k$ を単項式の総数、$V_F$ を指数ベクトルの凸包の体積とするとき、$\mathcal{O}(n^{2.312} \cdot 11^n \cdot k \cdot V_F^{7.376})$ の算術演算で $\dim Z_F$ を計算する。
• 定数 $a_F$ と $A_F$ のビットサイズは、いずれも $\mathcal{O}(n \log D + \log \sigma(F))$ であり、これは入力のスパースサイズに関して二次未満である。
• $A_F$ は明示的に $\mathcal{O}\left(\left[\frac{e^n}{\sqrt{n}} V_F (\sigma(F) + m(n \log D + \log m))\right]^4\right)$ で有界であり、有効な素数判定区間を保証する。
• $a_F$ は $\mathcal{O}(n^3 D V_F (4^n D \log D + \sigma(F) + \log m))$ で有界であり、不可能な系が根を持つ素数の数を定量化する。
• 証明により、$t \geq 4963041$ のとき、区間 $(A_F t^3, A_F (t+1)^3)$ には、$Z_F$ が $\mathbb{C}$ で非空であれば、系が $\mathbb{F}_p$ で根を持つような素数 $p$ が少なくとも1つ存在することが示される。GRHの下で成立する。
• この枠組みにより、明示的かつ有効な境界を持つKoiranのアルゴリズムの洗練版が得られ、$\mathbb{C}$ 上での超曲面の空集合性を決定する条件付き複雑度が向上する。