[論文レビュー] Computing Congruences of Modular Forms and Galois Representations Modulo Prime Powers

Xavier Taixés i Ventosa, Gabor Wiese|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、素数のべき ℓⁿ におけるモジュラー形式およびガロア表現の合同関係を計算するためのアルゴリズムを開発する。合同数およびノイズン多角形の手法を用いて、2つのヘッケ固有形式が ℓⁿ で合同であるかどうかを特定する。主な結果として、レベル上昇が合同数の整除に基づくとは限らないことが示され、リビットの定理の自明な一般化が成り立たないことが示された。

ABSTRACT

This article starts a computational study of congruences of modular forms and modular Galois representations modulo prime powers. Algorithms are described that compute the maximum integer modulo which two monic coprime integral polynomials have a root in common in a sense that is defined. These techniques are applied to the study of congruences of modular forms and modular Galois representations modulo prime powers. Finally, some computational results with implications on the (non-)liftability of modular forms modulo prime powers and possible generalisations of level raising are presented.

研究の動機と目的

• 素数 ℓ および n ≥ 1 に対して、モジュラー形式およびガロア表現の ℓⁿ を法とする合同関係を決定するための計算的手法を開発すること。
• 非還元的かつ非ファクタリアルな環（例：ℤ/ℓⁿℤ）上で作業する課題に対処すること、これは標準的な合同関係の定義を複雑にする。
• ℓ を法とするレベル上昇現象を、より高いべき ℓⁿ に一般化すること、特にヘッケ固有形式の文脈において。
• ヘッケ作用素の特性多項式の根を用いて、新形式間の合同関係を計算するためのアルゴリズム的ツールを提供すること。
• 素数のべき ℓⁿ を法とするモジュラー形式の非上昇性（non-liftable）およびこの設定におけるガロア表現の挙動を調査すること。

提案手法

• 互いに素なモニック整数係数多項式から導かれる不変量である合同数を用いて、代数的整数間の ℓⁿ を法とする合同関係を定義する。
• 根の差の形成する多項式のノイズン多角形を用いて、合同数が不十分な場合の合同関係の検出を精緻化する。
• q-展開係数の有限個の数を、ℤ/ℓⁿℤ を法とするモジュラー形式を一意に特定するために必要な数を決定するために、ストゥルムの基準を適用する。
• ヘッケ作用素の特性多項式の共通根を分析することにより、2つの新形式が ℓⁿ を法として合同である最大の ℓⁿ を計算するアルゴリズムを構築する。
• 異なるレベルの形式を共通のレベルに還元することで比較できるように、ℓⁿ を法とする退化写像を構築する。
• 合同数およびノイズン多角形の手法を用いて、Eisenstein 級数を ℓⁿ を法として合同関係の上界・下界を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T_p の特性多項式の合同数が ℓⁿ で割り切れるという条件は、新形式に対して ℓⁿ を法とするレベル上昇を示唆するか？
• RQ2 リビットの古典的レベル上昇定理は、ℓⁿ を法とする合同関係へ一般化可能か？ もしそうなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 新形式 f が同じレベルおよび重さにおいて Eisenstein 級数と合同となる最大の ℓⁿ は何か？
• RQ4 レベル Np 内の新形式 f と他の新形式間の合同の ℓ-進付値の和は、(p+1)² を含む合同数の ℓ-進付値に等しいか？
• RQ5 モジュラー形式が ℓⁿ を法としてどれほど非上昇的（non-liftable）であるか、そしてその影響が関連するガロア表現の構造にどのように現れるか？

主な発見

• 合同数は、2つのモニックで互いに素な整数係数多項式が ℓⁿ を法として根を合同に持つような最大の ℓⁿ に対して、良好な上界を与える。
• 重さ 2、レベル Γ₀(17) の新形式について、ℓ² が合同数を割り切るにもかかわらず、レベル 17·59 へのレベル上昇は発生しない。これは、合同数の整除が ℓⁿ を法とするレベル上昇の十分条件ではないことを示唆している。
• アルゴリズムは、数体埋め込みを全般に用いるナイーブな方法よりも、新形式間の合同関係をより効率的に計算できる。
• ヘッケ作用素 T_p の特性多項式と、Eisenstein部分空間内の多項式の共通根を分析することにより、Eisenstein 級数を ℓⁿ を法として合同関係として検出でき、合同レベルの上界が得られる。
• 本稿では、f とレベル Np 内の新形式間の合同の ℓ-進付値の和が、(p+1)² を含む合同数の ℓ-進付値に一致しないことがあると観察され、より洗練された不変量の必要性が示唆された。
• 反例として、Eisenstein 級数に関するマズールの定理を ℓ を法とするものから ℓⁿ を法とするものへ自明に一般化することはできないことが示された。なぜなら、ℓⁿ を法とする合同関係が常に ℓ を法とするものに拡張されるわけではないからである。