[論文レビュー] Computing eigenvalues of matrices in a quantum computer

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子位相推定、量子特異値推定、および量子線形方程式系ソルバーを組み合わせることで、対角化可能な行列—特に実固有値行列と正規行列—の固有値を計算する量子アルゴリズムを提案する。これらのアルゴリズムは、スパarsityおよび条件数の制約のもとで、行列サイズに対して多項式対数的スケーリングとなる複雑さで、固有値と固有ベクトルを符号化する量子状態を出力する。

ABSTRACT

Eigenproblem arises in a large number of disciplines of sciences and engineering. Combining quantum algorithms to solve linear differential equations, quantum singular value estimation and quantum phase estimation, we propose quantum algorithms to compute the eigenvalues of diagonalizable matrices of two types: matrices that only have real eigenvalues and normal matrices. The quantum algorithms return a quantum state such that the first register stores eigenvalues and the second register stores the corresponding eigenvectors. For normal matrices, the complexity to obtain this quantum state is dominated by the complexity to perform quantum singular value estimation. For the other case, the complexity is determined by the solving of a linear system of differential equations. Under certain conditions (e.g. sparse), the complexities are polylog on the size $n$ of the given matrix. If we perform measurements, then we can obtain all the eigenvalues classically. If $M$ is $s$ sparse, then the complexity is $\widetilde{O}(sn\|M\|_{\max}\kappa^2/\epsilon^2)$, where $\kappa$ is the condition number of the matrix of eigenvectors.

研究の動機と目的

• 対角化可能な行列の固有値を効率的に計算する量子アルゴリズムの開発を目的とする。
• 量子線形方程式系ソルバーと位相推定を活用することで、量子計算における固有値問題を扱うことを目的とする。
• 量子特異値推定と微分方程式の解法を活用することで、スパース行列に対して低計算複雑度を達成することを目的とする。
• 出力された量子状態の測定により、古典的手段ですべての固有値を抽出できることを目的とする。
• スパarsity、条件数、精度に依存する複雑さの境界を確立することを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、行列の固有ベクトルから固有値を抽出するために量子位相推定を用いる。
• 正規行列の場合、量子特異値推定が複雑さを決定する主要な要素である。
• 実固有値行列の場合、量子アルゴリズムを用いて線形微分方程式系を解くことで処理を行う。
• 出力は、第一レジスタに固有値を符号化し、第二レジスタにそれに対応する固有ベクトルを符号化する量子状態である。
• アルゴリズムは行列がスパースであると仮定し、誤差と実行時間の境界を条件数と最大ノルムを用いて制御する。
• 精度と正確さはパラメータεによって制御され、複雑さは Õ(sn∥M∥maxκ²/ε²) のスケーリングを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、行列サイズに対して多項式対数的複雑さを達成しつつ、対角化可能な行列の固有値を効率的に計算できるか？
• RQ2 量子設定下で、固有値計算の複雑さはスパarsityおよび条件数にどのように依存するか？
• RQ3 量子位相推定と量子特異値推定は、行列固有値問題を解く際に果たす役割は何か？
• RQ4 固有値と固有ベクトルを符号化する量子状態は、測定可能であり、それにより古典的にすべての固有値を抽出できるか？
• RQ5 スパarsityおよび有界な条件数といった現実的な仮定のもとで、提案されたアルゴリズムの実行時間の境界は何か？

主な発見

• s-スパース行列に対して、複雑さが Õ(sn∥M∥maxκ²/ε²) に達成される。ここでsはスパarsity、∥M∥maxは最大絶対値成分、κは固有ベクトル行列の条件数、εは所望の精度である。
• 正規行列の場合、複雑さは量子特異値推定に支配され、効率的な固有値計算を可能にする。
• 実固有値行列の場合、複雑さは量子手法を用いた線形微分方程式系の解法によって決定される。
• 出力は、第一レジスタに固有値を符号化し、第二レジスタにそれに対応する固有ベクトルを符号化する量子状態である。
• 出力状態の測定により、すべての固有値を古典的に再構築できる。
• 与えられた仮定のもとで、行列サイズnに対して複雑さが多項式対数的スケーリングとなるため、スパース行列に対して古典的手法よりも顕著な高速化が示唆される。