[論文レビュー] Computing Minimal Sets on Propositional Formulae I: Problems & Reductions.

João Marques‐Silva, Mikoláš Janota|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 96被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、命題論理における多様な関数問題を統一的に解くためのフレームワークを提示する。これらはすべて、単調述語の最小集合問題（MSMP）問題に還元可能である。最小非充足可能部分集合、素因数、バックボーン論理式、自己同型性といった主要な問題がすべてMSMPに還元可能であり、効率的なMSMPアルゴリズムの再利用が可能になり、それらの構造的性質や計算複雑性についての新たな知見が得られる。

ABSTRACT

Boolean Satisfiability (SAT) is arguably the archetypical NP-complete decision problem. Progress in SAT solving algorithms has motivated an ever increasing number of practical applications in recent years. However, many practical uses of SAT involve solving function as opposed to decision problems. Concrete examples include computing minimal unsatisfiable subsets, minimal correction subsets, prime implicates and implicants, minimal models, backbone literals, and autarkies, among several others. In most cases, solving a function problem requires a number of adaptive or non-adaptive calls to a SAT solver. Given the computational complexity of SAT, it is therefore important to develop algorithms that either require the smallest possible number of calls to the SAT solver, or that involve simpler instances. This paper addresses a number of representative function problems defined on Boolean formulas, and shows that all these function problems can be reduced to a generic problem of computing a minimal set subject to a monotone predicate. This problem is referred to as the Minimal Set over Monotone Predicate (MSMP) problem. This exercise provides new ways for solving well-known function problems, including prime implicates, minimal correction subsets, backbone literals, independent variables and autarkies, among several others. Moreover, this exercise motivates the development of more efficient algorithms for the MSMP problem. Finally the paper outlines a number of areas of future research related with extensions of the MSMP problem.

研究の動機と目的

• 命題論理における広範な関数問題クラスを、1つの計算的抽象化に統一すること。
• 最小非充足可能部分集合、素因数、バックボーン論理式といった問題が、すべてMSMP問題に還元可能であることを示すこと。
• 既存の効率的なMSMPアルゴリズムを、SATベースの推論におけるより広範な実用的問題に応用可能にする。
• 論理および制約充足問題における関数問題のための新しいアルゴリズムとクエリ複雑性の特徴づけの基盤を提供すること。

提案手法

• MSMP問題を、単調述語P(W)が成り立つような最小集合W ⊆ Rを計算するものとして形式化する。
• 一般化された還元戦略を定義：各ターゲット関数問題に対して、その論理的構造に基づいて単調述語P(W)を構築する。
• SATソルバをオракルとして用い、構築された述語の単調性と正しさを評価する。
• 論理的変換（例：節の補完、変数の代入、論理式の再構成）を用いて、各問題をMSMPフレームワークに符号化する。
• MSMPに既知のアルゴリズム的手法（例：適応的および非適応的SATクエリ）を適用して、還元された問題を解く。
• 形式的命題論理および述語論理（例：命題7および関連する補題を用いて）により、還元の正しさと単調性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様な命題論理関数問題が、MSMP問題に還元可能かどうか。
• RQ2 関数問題が単調述語還元を許容する構造的および論理的条件は何か。
• RQ3 既存のMSMPアルゴリズムを、最小修正部分集合や自己同型性といった新しい問題クラスに再利用する方法は何か。
• RQ4 具体的なMSMP問題のインスタンス（例：FMUS、FPIc、FBB）のクエリ複雑性特性は何か。

主な発見

• 最小非充足可能部分集合、素因数、バックボーン論理式を含む15個以上のターゲット関数問題が、単調述語を介してMSMP問題に還元可能である。
• 還元は形式的に正しく証明されており、単調性が保たれているため、MSMPアルゴリズムの信頼性ある適用が可能である。
• 本フレームワークにより、効率的なMSMPアルゴリズム（例：[69] より）が、従来はカスタムソリューションが必要とされた問題に対しても再利用可能である。
• MSMPへの還元は、変数の独立性や最大自己同型性といった問題の構造に関する新たな理論的知見を提供する。
• FMUS や FPIc のような一部の問題では、MSMPへの還元が、効率の向上が期待される新しいアルゴリズム的手法をもたらす。
• 本稿は、MSMPフレームワークがILP、SMT、CSPの問題を包含できるほど一般性が十分であることを示しており、命題論理をはるかに超えた応用可能性を示唆している。