[論文レビュー] Computing the Gromov-Hausdorff Distance for Metric Trees

Pankaj K. Agarwal, Kyle Fox+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、距離木間のグロモフ＝ハウスドルフ（GH）距離を近似する問題について、最初のNP困難性結果を確立し、3未満の要因で近似することはNP困難であることを証明している。また、$r$ を最大辺長と最小辺長の比とするとき、$O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$-近似アルゴリズムを、多項式時間で提供しており、単位辺長の木に対しては $O(\sqrt{n})$-近似が達成される。

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff (GH) distance is a natural way to measure distance between two metric spaces. We prove that it is $\mathrm{NP}$-hard to approximate the Gromov-Hausdorff distance better than a factor of $3$ for geodesic metrics on a pair of trees. We complement this result by providing a polynomial time $O(\min\{n, \sqrt{rn}\})$-approximation algorithm for computing the GH distance between a pair of metric trees, where $r$ is the ratio of the longest edge length in both trees to the shortest edge length. For metric trees with unit length edges, this yields an $O(\sqrt{n})$-approximation algorithm.

研究の動機と目的

• 距離木間のグロモフ＝ハウスドルフ距離を近似する計算の困難性を確立すること。
• 距離木におけるGH距離を計算するための最初の多項式時間近似アルゴリズムを開発すること。
• この問題における近似要因の既知の下界と上界のギャップを埋めること。
• グロモフ＝ハウスドルフ距離とマージツリーのインターリーブ距離との関係を活用して、効率的な近似アルゴリズムを設計すること。
• 辺長比 $r$ とノード数 $n$ を用いて近似比を分析すること。

提案手法

• 3分割問題からの還元を用いて、GH距離の近似が3未満の要因で可能でないことを証明する。
• 距離木間のGH距離の計算問題を、関連するマージツリー間のインターリーブ距離の計算問題に還元する。
• 小さな辺をカットして簡略化されたマージツリーを構築し、構造的性質を保持する。
• 閾値 $\varepsilon$ をパrameterとするアプローチを用いて、マージツリー間で $O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$-適合写像を計算する。
• 簡略化されたツリー上で動的計画法または同型写像のチェック手順を適用し、有界な歪み内で適合写像を計算する。
• インターリーブ距離に関する結果と既知のGH距離との関係を組み合わせ、最終的な近似保証を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離木間のグロモフ＝ハウスドルフ距離は、定数要因内で近似可能か？
• RQ2 距離木におけるGH距離に対して多項式時間近似アルゴリズムを設計可能か？その近似要因は何か？
• RQ3 最大辺長と最小辺長の比 $r$ は近似品質にどのように影響するか？
• RQ4 グロモフ＝ハウスドルフ距離とマージツリーのインターリーブ距離との関係は何か？
• RQ5 近似要因を $O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$ を超えて改善可能か？

主な発見

• 距離木間のグロモフ＝ハウスドルフ距離は、3未満の要因で近似可能でない（NP困難）。
• 本稿では、$r$ を最大辺長と最小辺長の比とするとき、$O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$-近似アルゴリズムを提示しており、これは距離木間のGH距離の計算に用いられる。
• 単位長辺を持つ距離木に対しては、アルゴリズムは多項式時間内で $O(\sqrt{n})$-近似を達成する。
• アルゴリズムの実行時間は $O(n^{7/2}\log n)$ であり、マージツリー間のインターリーブ距離への還元に基づく。
• マージツリー間のインターリーブ距離は、$4(\sqrt{2ns}+1)\varepsilon$-適合写像の構築を用いて $O(\min\{n,\sqrt{rn}\})$ で近似される。
• 近似比は定数因子の範囲でタイトであり、既知の下界と上界のギャップは多項式的に大きいまま残っている。