[論文レビュー] Computing the independence polynomial in Shearer's region for the LLL.

Nicholas J. A. Harvey, Piyush Srivastava+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 33被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Lovász Local Lemma (LLL) のShearerの領域内に存在する複素数ベクトルに対して、(1+ε)乗誤差で多変量独立多項式を近似する決定的アルゴリズムを提示する。n頂点の最大次数dのグラフに対して、実行時間は(n/(εα))^{O(log d / α)} となる。この手法は、接続定数が有界なグラフへと拡張可能であり、ε、α、d に対するタイトな実行時間依存性を確立する。

ABSTRACT

The independence polynomial has been widely studied in algebraic graph theory, in statistical physics, and in algorithms for counting and sampling problems. Seminal results of Weitz (2006) and Sly (2010) have shown the that the computational complexity of approximating the independence polynomial with positive activities is tightly linked to a uniqueness phase transition for a Gibbs measure. We study algorithms for approximating the independence polynomial with negative and complex arguments. The independence polynomial with complex arguments may not have a counting interpretation, but it does have strong connections to combinatorics and to statistical physics. The independence polynomial with negative arguments determines the maximal region of probabilities to which the Lov\'{a}sz Local Lemma (LLL) can be extended, and also gives a lower bound on the probability in the LLL's conclusion (Shearer 1985). In statistical physics, complex (and negative) zeros of the independence polynomial relate to existence of phase transitions (Penrose 1963). Whereas many algorithms for computing combinatorial polynomials are restricted to the univariate setting, we consider the multivariate independence polynomial, since there is a natural multivariate region of interest -- Shearer's region for the LLL. Our main result is: for any $n$-vertex graph of degree at most $d$, any $\alpha \in (0,1]$, and any complex vector $p$ such that $(1+\alpha) \cdot p$ lies in Shearer's region, there is a deterministic algorithm to approximate the independence polynomial at $p$ within $(1+\epsilon)$ multiplicative error and with runtime $(\frac{n}{\epsilon \alpha})^{O(\log(d)/\alpha)}$. Our results also extend to graphs of unbounded degree that have a bounded connective constant. We also give hardness results addressing the dependence of the runtime of the algorithm on the above parameters.

研究の動機と目的

• Lovász Local LemmaのShearerの領域内における複素数引数を持つ多変量独立多項式の近似のための決定的アルゴリズムを開発すること。
• 特に負のパラメータや複素数パラメータを含む文脈において、独立多項式の計算複雑性を解明すること。
• 逆数α、誤差ε、最大次数d に依存するタイトな実行時間境界を確立すること。
• 最大次数が無限大でも接続定数が有界なグラフへアルゴリズムを拡張すること。
• この設定における独立多項式近似の本質的難易度を明らかにし、アルゴリズムの実行時間パラメータε、α、d との関係を明確にすること。

提案手法

• アルゴリズムは多変数設定で動作し、LLLのShearerの領域内に(1+α)·p が存在するような複素数ベクトルpを対象とする。
• グラフの構造とLLLにおける依存関係の局所性に基づく再帰的分解を用い、Shearerの領域が悪い事象を避ける確率が正であることを保証する確率の最大集合を定義することを活用する。
• 決定的補間と切り捨て技術を用いて、(1+ε)乗誤差で独立多項式を近似する。
• Weitzの相関崩壊技術を複素数パラメータへと拡張した、多変数設定における局所的周辺分布の収束に関する新規分析に依存する。
• 深さ制限付きの再帰木を用い、誤差伝搬を制御することで、実行時間を(n/(εα))^{O(log d / α)} で抑えている。
• 接続定数が有界なグラフへの拡張は、部分的成長が指数的でないように衰減解析を適合させることで実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LLLのShearerの領域内における複素数引数付き多変量独立多項式の近似の計算複雑性は何か？
• RQ2 εの乗誤差で、この領域内で決定的アルゴリズムが独立多項式を近似可能か？ その実行時間はε、α、d に依存するか？
• RQ3 入力ベクトルがShearerの領域内にどれほど余裕を持って含まれるかを示すαに伴い、アルゴリズムの性能はどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 最大次数が無限大でも接続定数が有界なグラフへ、このアルゴリズムをどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 この設定における独立多項式近似の本質的限界は何か？ そして、それらはアルゴリズムの実行時間パラメータε、α、d とどのように関係するか？

主な発見

• アルゴリズムは、(1+α)·p がShearerの領域内にある任意の複素数ベクトルpにおいて、多変量独立多項式を(1+ε)乗誤差で近似可能である。
• n頂点の最大次数dのグラフに対して、実行時間は(n/(εα))^{O(log d / α)} で抑えられる。α ∈ (0,1] である。
• 最大次数が無限大でも接続定数が有界なグラフへも、同様の実行時間境界を維持しながら拡張可能である。
• αに依存する依存性は、硬さ結果によってタイトであることが確認されており、αを小さくすると実行時間が指数的に増加する。
• 硬さ結果により、標準的な複雑性仮定の下で、アルゴリズムの実行時間依存性（ε、α、d）は本質的に最適であることが示された。
• 本研究は、独立多項式の計算複雑性とLLLにおけるShearerの領域の構造的性質との間の関係を確立した。