[論文レビュー] Computing the metric dimension of a graph from primary subgraphs

Dorota Kuziak, Juan A. Rodríguez‐Velázquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、主に切断頂点を有するグラフを点結合によって構築したグラフのメトリック次元を計算する手法を提示する。特に、ルート付き積グラフ、コーネィング積グラフ、ブロックグラフ、およびチェーンを含むグラフ族に対して、閉形式の式を導出する。その際、結合頂点と主サブグラフ内のメトリック基底の役割を分析する。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph. Given an ordered set $W = \{w_1, w_2,\dots w_k\}\subseteq V(G)$ and a vertex $u\in V(G)$, the representation of $u$ with respect to $W$ is the ordered $k$-tuple $(d(u,w_1), d(u,w_2),\dots,$ $d(u,w_k))$, where $d(u,w_i)$ denotes the distance between $u$ and $w_i$. The set $W$ is a metric generator for $G$ if every two different vertices of $G$ have distinct representations. A minimum cardinality metric generator is called a \emph{metric basis} of $G$ and its cardinality is called the \emph{metric dimension} of G. It is well known that the problem of finding the metric dimension of a graph is NP-Hard. In this paper we obtain closed formulae for the metric dimension of graphs with cut vertices. The main results are applied to specific constructions including rooted product graphs, corona product graphs, block graphs and chains of graphs.

研究の動機と目的

• 点結合によって構築された主サブグラフからなるグラフのメトリック次元を計算する一般的手法を開発すること。
• メトリック次元計算のNP困難性に対処し、それをより単純なサブグラフ問題に還元すること。
• ルート付き積、コーネィング積、ブロック、チェーングラフなどの特殊なグラフ族におけるメトリック次元の閉形式式を提供すること。
• 結合グラフ $K_1 + H$ のユニバーサル頂点がメトリック基底に属する条件を明確にし、先行研究の誤りを是正すること。

提案手法

• グラフ $G$ を、互いに頂点を共有しない連結な主サブグラフ $G_1, \dots, G_k$ を点結合によって構成したものと定義する。
• 結合頂点 $A(G)$ の概念を導入し、$\dim^*(G_i)$ を $G_i$ の結合頂点を考慮した調整済みメトリック次元として定義する。
• 内部サブグラフに直径的結合頂点を持つチェーングラフに対して、$\dim(G) = \sum_{i=1}^k \dim^*(G_i)$ が成り立つことを確立する。
• $K_1 + H$ の構造を用いて、ユニバーサル頂点がメトリック基底に属する条件を導出し、$\dim(G \odot H)$ の修正された公式を得る。
• このフレームワークを応用して、コーネィング積グラフ $G \odot H$ の閉形式式を導出し、$K_1$ 頂点が $K_1 + H$ のメトリック基底に属するかどうかに応じた場合分けを行う。
• 半径と最大次数の性質を活用し、$r(H) \geq 4$ などの十分条件を確立し、$K_1$ 頂点が $K_1 + H$ のいかなるメトリック基底にも属しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 切断頂点を有するグラフのメトリック次元は、その主サブグラフからどのように計算できるか？
• RQ2 $K_1 + H$ のユニバーサル頂点がメトリック基底に属する条件は何か？
• RQ3 コーネィング積グラフ $G \odot H$ の正確なメトリック次元は何か？
• RQ4 チェーングラフのメトリック次元は、その成分サブグラフのメトリック次元とどのように関係するか？
• RQ5 ルート付き積グラフおよびブロックグラフのメトリック次元は、その主サブグラフに基づいて閉形式で表現可能か？

主な発見

• 直径的結合頂点を内部サブグラフ $G_i$ ($i = 2, \dots, k-1$) に持つチェーングラフ $G$ に対して、$\dim(G) = \sum_{i=1}^k \dim^*(G_i)$ が成り立つ。
• 位数 $n \geq 2$ のグラフ $G$ に対して、コーネィング積 $G \odot H$ について、$K_1$ 頂点が $K_1 + H$ のメトリック基底に属する場合、$\dim(G \odot H) = n \cdot (\dim(K_1 + H) - 1)$ であり、そうでない場合は $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$ である。
• もし $H$ の半径 $r(H) \geq 4$ または $\dim(K_1 + H) > \Delta(H) + 1$ であれば、$K_1$ 頂点は $K_1 + H$ のいかなるメトリック基底にも属しない。このとき $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$ である。
• 図6のグラフ $H$ に対して、$\dim(K_1 + H) = 3$ であり、$K_1$ 頂点がメトリック基底に属するため、$\dim(G \odot H) = 2n$ である。
• この結果は、[14] の定理1を是正するものであり、同定理は $\dim(G \odot H) = n \cdot \dim(K_1 + H)$ を無条件に主張していたが、これは誤りである。
• $G_1 \cong K_{1,4}$, $G_2 \cong C_4$, $G_3 \cong K_3$, $G_4 \cong K_3$ であるチェーングラフに対して、$\dim(G) = 4$ であり、これは $\dim^*(G_1) + \dim^*(G_2) + \dim^*(G_3) + \dim^*(G_4) = 2 + 1 + 0 + 1$ として計算される。