[論文レビュー] Computing the spectral action for fuzzy geometries: from random noncommutatative geometry to bi-tracial multimatrix models

Carlos I. Pérez-Sánchez|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 52被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ランダム非可換幾何学を用いて $2n$-次元のふわふわ幾何におけるスペクトル作用を計算し、経路積分を $N \times N$ 複素行列を用いた二トレースマルチマトリックス・モデルに再定式化する。2次元では6次まで、4次元では4次までの明示的公式を導出し、弦図を用いて $N$-不変性と自己随伴性を保証することで、大 $N$ 限界における自由確率論的アプローチを可能にする。

ABSTRACT

A fuzzy geometry is a certain type of spectral triple whose Dirac operator crucially turns out to be a finite matrix. This notion was introduced in [J. Barrett, J. Math. Phys. 56, 082301 (2015)] and accommodates familiar fuzzy spaces like spheres and tori. In the framework of random noncommutative geometry, we use Barrett's characterization of Dirac operators of fuzzy geometries in order to systematically compute the spectral action $S(D)= \mathrm{Tr} f(D)$ for $2n$-dimensional fuzzy geometries. In contrast to the original Chamseddine-Connes spectral action, we take a polynomial $f$ with $f(x) o \infty$ as $ |x| o\infty$ in order to obtain a well-defined path integral that can be stated as a random matrix model with action of the type $S(D)=N \cdot \mathrm{tr}\, F+ extstyle\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr} \,B_i $, being $F,A_i $ and $B_i $ noncommutative polynomials in $2^{2n-1}$ complex $N imes N$ matrices that parametrize the Dirac operator $D$. For arbitrary signature---thus for any admissible KO-dimension---formulas for 2-dimensional fuzzy geometries are given up to a sextic polynomial, and up to a quartic polynomial for 4-dimensional ones, with focus on the octo-matrix models for Lorentzian and Riemannian signatures. The noncommutative polynomials $F,A_i $ and $B_i$ are obtained via chord diagrams and satisfy: independence of $N$; self-adjointness of the main polynomial $F$ (modulo cyclic reordering of each monomial); also up to cyclicity, either self-adjointness or anti-self-adjointness of $A_i $ and $B_i $ simultaneously, for fixed $i$. Collectively, this favors a free probabilistic perspective for the large-$N$ limit we elaborate on.

研究の動機と目的

• ランダム非可換幾何学を用いて $2n$-次元のふわふわ幾何におけるスペクトル作用 $S(D) = \mathrm{Tr} f(D)$ を体系的に計算すること。
• 収束を保証する多項式 $f$ を用いた経路積分を、明確に定義されたランダム行列モデルに再定式化すること。
• ディラック作用素に関して6次（2次元）および4次（4次元）までの多項式としてスペクトル作用の明示的表現を導出すること。
• 弦図の組合せ論を用いて、作用の成分の $N$-不変性と自己随伴性を保証すること。
• 循環不変性を持つ二トレースマルチマトリックス・モデルを構築することで、大 $N$ 限界における自由確率論的枠組みを可能にすること。

提案手法

• ふわふわ幾何におけるディラック作用素を有限行列として定義するバーレットの特徴づけを用いて、スペクトル三重項を定義する。
• 経路積分の収束を保証するため、$f(x) \to \infty$ が $|x| \to \infty$ のとき成り立つ多項式 $f$ を用いる。
• スペクトル作用を $S(D) = N \cdot \mathrm{tr}\, F + \sum_i \mathrm{tr}\, A_i \cdot \mathrm{tr}\, B_i$ として表現し、ここで $F, A_i, B_i$ は $2^{2n-1}$ 個の複素 $N \times N$ 行列における非可換多項式である。
• 弦図を用いて $F, A_i, B_i$ を構築し、$N$-不変性と循環不変性を強制する。
• 各 $i$ に対して $F$ を循環再順序化の下で自己随伴とし、$A_i$ と $B_i$ を同時に自己または反自己随伴とする。
• 2次元および4次元のふわふわ幾何にこの枠組みを適用し、八重行列モデルを用いてローレンツ型およびリーマン型の計量符号を焦点にしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム非可換幾何学を用いて $2n$-次元のふわふわ幾何におけるスペクトル作用をどのように体系的に計算できるか？
• RQ2 スペクトル作用が多項式 $f$ を持つランダム行列モデルとして表現された場合、経路積分はどのような形をとるか？
• RQ3 弦図はどのようにして導出された行列モデルにおける $N$-不変性と循環不変性を保証するか？
• RQ4 2次元および4次元のふわふわ幾何におけるスペクトル作用の明示的多項式構造は何か？
• RQ5 $F$, $A_i$, $B_i$ の対称性は、大 $N$ 限界における自由確率論的解釈をどのように支援するか？

主な発見

• スペクトル作用は、$F, A_i, B_i$ が $2^{2n-1}$ 個の複素 $N \times N$ 行列における非可換多項式である二トレースマルチマトリックス・モデルとして再定式化され、$S(D) = N \cdot \mathrm{tr}\, F + \sum_i \mathrm{tr}\, A_i \cdot \mathrm{tr}\, B_i$ となる。
• 2次元のふわふわ幾何では、ディラック作用素に関して6次多項式までスペクトル作用が明示的に計算されている。
• 4次元のふわふわ幾何では、4次多項式までスペクトル作用が導出されており、ローレンツ型およびリーマン型の計量符号について八重行列モデルに焦点を当てている。
• 非可換多項式 $F, A_i, B_i$ は弦図を用いて構築されており、$N$-不変性と循環不変性が保証されている。
• 多項式 $F$ は循環再順序化の下で自己随伴であり、各 $i$ に対して $A_i$ と $B_i$ は同時に自己または反自己随伴である。
• 作用の構造は、行列モデルの成分の対称性と不変性の性質のおかげで、大 $N$ 限界における自由確率論的解釈を可能にする。