[論文レビュー] Computing with almost periodic functions

Robert V. Moody, Maryna Nesterenko+1 more|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Quasicrystal Structures and Properties被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、切断・投影形式および力学的ホールの枠組みを用いて、準周期関数の有限離散群論的フーリエ解析法を、準晶に適用する。この手法により、周期化を回避し、完全な非周期的構造を保持した均一収束する三角多項式近似が可能となる。元の関数のフーリエモジュール内に近似が収束し、Fibonacci準晶においても微細な特異性を有するトーラス写像の下で高い精度が示された。

ABSTRACT

The paper develops a method for discrete computational Fourier analysis of functions defined on quasicrystals and other almost periodic sets. A key point is to build the analysis around the emerging theory of quasicrystals and diffraction in the setting on local hulls and dynamical systems. Numerically computed approximations arising in this way are built out of the Fourier module of the quasicrystal in question, and approximate their target functions uniformly on the entire infinite space. The methods are entirely group theoretical, being based on finite groups and their duals, and they are practical and computable. Examples of functions based on the standard Fibonacci quasicrystal serve to illustrate the method (which is applicable to all quasicrystals modeled on the cut and project formalism).

研究の動機と目的

• 準晶や非周期的系に生じる準周期関数の実用的かつ計算可能なフーリエ解析法の開発。
• 周期化による従来の制限を克服し、長距離非周期的秩序および純点回折特徴を保持する。
• 元関数のフーリエモジュールに属する周波数を持つ、均一収束する三角多項式近似を構築する。
• 理論的厳密性と計算可能性を両立させるために、局所ホールおよび力学系の枠組みに分析を埋め込む。
• 有限群およびその双対を用いた効率的計算を可能とし、高速フーリエ変換への応用が見込まれる。

提案手法

• 準晶点集合 Λ から力学的ホール (X, μ) を構築し、それを平行移動作用に関するコンパクトなアーベル群（例：高次元トーラス）として扱う。
• Λ 上の局所関数を L²(X, μ) に持ち上げ、この空間における ℝᵈ のユニタリ表現を用いてフーリエ解析を実行する。
• トーラス上で切断・投影形式を用いてフーリエ解析を実施し、ホール X が高次元格子の商として明示的に記述される。
• 離散化は、細分化格子およびその双対を導入することで達成され、その特徴関数が近似の基底を形成する有限アーベル群が得られる。
• 得られる近似は、元関数のフーリエモジュールに属する周波数を持つ三角多項式（準周期関数）である。
• フーリエモジュールの代数的構造と有限群の双対性を活用することで、無限空間全域で均一収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 人工的な周期化を避け、準周期関数に対してどのように離散的フーリエ解析を実行できるか。
• RQ2 力学的ホールおよび局所関数は、準晶の非周期的秩序をどのように捉えているか。
• RQ3 準晶のフーリエモジュールを、有限で計算可能な近似にどのように保つことができるか。
• RQ4 Fibonacci準晶の特定の区間で近似のアーティファクトが生じる理由は何か。また、これを回避できるか。
• RQ5 対称性および有限群構造は、高次元準晶解析における計算効率をどの程度向上させ得るか。

主な発見

• 有限で計算可能な三角多項式（フーリエモジュールから導出）を用いて、準周期関数の均一収束近似が得られる。
• 近似は準周期の性質を保ち、周期境界条件に起因する制限を回避する。
• Fibonacci準晶の例では、近似誤差がトーラス写像が単射でない区間、特に [-τ², 0] の近辺に局在する。これは特異なモデル集合に起因する。
• アーティファクトの原因は、異なる二つのモデル集合（{-τ} と {-1} の差異を有する）が、フーリエ解析では同一視されてしまうことにある。
• この問題は、ℤ[τ] に属する点を避ける窓の選定（例：[½, ½ + 1/τ]）により解決され、トーラス写像が単射となり、均一収束が回復する。
• 有限アーベル群およびその双対に依存するため、本フレームワークは高速フーリエ変換技術への適応が可能である。