[論文レビュー] Concatenated Quantum Codes

Emanuel Knill, Raymond Laflamme|ArXiv.org|Aug 8, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 63

ひとこと要約

本稿では、物理的操作の誤差振幅が有界である条件下で、任意の保存時間や伝送距離に対して論理量子ビットをフェイルセーフに保護するための連結量子符号を導入する。主な結果は、原始的ゲートの誤差が最大 $ c\epsilon $ であり、メモリ／チャネル素子の誤差が最大 $ \epsilon $ であるならば、時間または距離に応じて多項式オーダーのオーバーヘッドで、任意の長期間の保存や長距離伝送が可能であることを示す閾値定理である。

ABSTRACT

One of the main problems for the future of practical quantum computing is to stabilize the computation against unwanted interactions with the environment and imperfections in the applied operations. Existing proposals for quantum memories and quantum channels require gates with asymptotically zero error to store or transmit an input quantum state for arbitrarily long times or distances with fixed error. In this report a method is given which has the property that to store or transmit a qubit with maximum error $ε$ requires gates with error at most $cε$ and storage or channel elements with error at most $ε$, independent of how long we wish to store the state or how far we wish to transmit it. The method relies on using concatenated quantum codes with hierarchically implemented recovery operations. The overhead of the method is polynomial in the time of storage or the distance of the transmission. Rigorous and heuristic lower bounds for the constant $c$ are given.

研究の動機と目的

• 長期間の保存または長距離伝送中に量子状態がデ coherent 化および操作誤差から保護される課題に対処すること。
• 既存の量子誤り訂正手法が、任意の時間や距離に対して漸近的にゼロのゲート誤差を要件としているという制限を克服すること。
• 原始的ゲートに一定の閾値誤差率が存在する場合に、時間や距離に依存しない任意に低い最終誤差を達成できることを示すこと。
• 時間または距離に応じて多項式オーダーのオーバーヘッドで十分であることを示し、フェイルセーフ量子通信およびメモリを実現すること。

提案手法

• 複数のレベルにわたるエラー伝播を抑制するために、階層的符号化および回復操作を用いた連結量子符号を用いる。
• 操作誤差とその量子回路内での伝播をモデル化するために、スーパーオペレータ形式を採用する。
• 各レベルで1エラー訂正コード（例：5量子ビット符号）を用い、回復操作の誤差が原始的ゲート誤差の定数倍で有界であることを実装する。
• 論理量子ビットがより大きな符号ブロックに符号化され、それぞれが下位レベルの符号で保護される再帰的符号化方式を適用する。
• 振幅に基づく誤差解析を用いて、回復およびデコード操作後の総誤差を有界化する。
• 最終誤差振幅が $ \epsilon_c = c\epsilon_d + O(\epsilon_d^{e+1}) $ で有界であることを示し、ここで $ \epsilon_d $ は物理的誤差、$ c $ は時間や距離に依存しない定数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始的誤差を持つ物理的操作のみを用いて、任意の長期間や長距離での量子状態の保存や伝送が可能か？
• RQ2 フェイルセーフ量子メモリや通信を達成するための原始的量子ゲートの許容誤差の最大値は何か？
• RQ3 必要なオーバーヘッドが時間や距離に対して多項式的に増加するか、指数関数的に増加するか？
• RQ4 ゲートに一定の閾値誤差率があれば、操作回数にかかわらずエラーを抑制できるか？
• RQ5 誤差の有界性はコードや回復手順の選択にどのように依存するか？

主な発見

• 原始的ゲート誤差が $ c\epsilon $ 以下であり、物理的メモリ／チャネル誤差が $ \epsilon $ 以下である限り、最終誤差 $ \leq \epsilon $ で任意の保存や伝送が可能である閾値が存在する。
• 必要なオーバーヘッドは時間や距離に対して多項式的増加であり、指数的増加ではないため、長期的応用において実用的である。
• 5量子ビット符号の場合、この方法が機能するためには $ \epsilon_d \leq 1/20 $ が必要であり、$ \epsilon \geq 1/20 $ のときゲート誤差は $ \epsilon_p \leq 1/400 $ で制限される。
• $ \epsilon < 1/20 $ の場合、ゲート誤差の上限は $ \epsilon_p \leq \epsilon(1 - 60\epsilon^2)/30 $ に緩和され、誤差が小さいほど要件が緩くなることが示される。
• この方法により、十分な並列経路を備えた定期的間隔の単純な量子リピーターを用いて、フェイルセーフ量子通信およびメモリが実現可能である。
• 散逸ヒューリスティックにより、より楽観的な誤差閾値約 $ 0.5 \times 10^{-4} $ が示唆され、きびしい境界値 $ 2.5 \times 10^{-8} $ よりも達成が容易である。