[論文レビュー] Concave functions of positive operators, sums and congruences

Jean-Christophe Bourin, Lee, Eun-Young|ArXiv.org|Apr 5, 2008

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、正の作用素における凹関数の拡大的同値変換および和に関して、統一的な作用素不等式を確立する。非負の凹関数 $f$ に対して、$Z_i$ が拡大的であるとき、対称ノルムは $\|f(\sum Z_i^* A_i Z_i)\| \leq \|\sum Z_i^* f(A_i) Z_i\|$ を満たす。この結果は、劣加法性および同値変換不等式を一般化し、可逆性の仮定の下で無限次元ヒルベルト空間へも拡張可能である。

ABSTRACT

Subaddivity type matrix inequalities for concave funcions and symetric norms are given.

研究の動機と目的

• 非負の凹関数 $f$ に対して、$f(A+B)$ の劣加法性および拡大的 $Z$ に対する同値変換不等式の2つの既知の作用素ノルム不等式を統一・一般化すること。
• 正の作用素における凹関数に対して、劣加法性と拡大的同値変換の両方を含む、単一で包括的な不等式を確立すること。
• ユニタリ不変ノルムおよび作用素論的技法を用いて、無限次元設定へのこの結果の拡張を図ること。
• 積分表現に依存しない、キ・ファンノルムおよび対称ノルムの性質に基づく初等的な証明を提供すること。

提案手法

• スペクトルのメジャリゼーションを用いて対称ノルム不等式を証明する基盤として、キ・ファン $k$-ノルムを用いる。
• 双対性および作用素凹関数による近似を用いて、一般の場合を非負の凸関数 $g$ に還元する。
• 作用素凹関数に対して成り立つハンセンの不等式 $f(Z^*AZ) \geq Z^*f(A)Z^*$ を、拡大的 $Z$ に適応する。
• 任意の凹関数を、作用素凹関数の逆を持つ族 $h_r(t)$ で近似し、一般の $f$ へ結果を拡張する。
• すべての対称ノルムで $\|X\| \leq \|Y\|$ が成り立つならば、増大凸関数 $g$ に対して $\|g(X)\| \leq \|g(Y)\|$ が成り立つこと（キ・ファンの原理による）。
• 最大 $k$ 個の固有値に対応するスペクトル射影 $E$ を用いて、トレース不等式をキ・ファンノルムの境界に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の凹関数 $f$ および拡大的 $Z_i$ に対して、$\|f(\sum Z_i^* A_i Z_i)\| \leq \|\sum Z_i^* f(A_i) Z_i\|$ が成り立つか？
• RQ2 劣加法性 $\|f(A+B)\| \leq \|f(A)+f(B)\|$ と拡大的同値変換不等式 $\|f(Z^*AZ)\| \leq \|Z^*f(A)Z\|$ が、対称ノルムの下で統一的な枠組みに統合可能か？
• RQ3 この統一的不等式は、無限次元ヒルベルト空間上の作用素へ拡張可能か？
• RQ4 積分表現に依存しない場合、対称ノルムおよびキ・ファンノルムは、このような不等式の証明において果たす役割は何か？
• RQ5 作用素の正定値性および $Z$ の拡大性の仮定が、$f(Z^*AZ)$ の不等式の方向に与える影響は何か？

主な発見

• 主結果（定理3.1）は、正の作用素 $A_i$ および拡大的 $Z_i$ に対して、すべての対称ノルムおよび非負の凹関数 $f$ に対して $\|f(\sum Z_i^* A_i Z_i)\| \leq \|\sum Z_i^* f(A_i) Z_i\|$ が成り立つことを確立する。
• この不等式は、劣加法性 $\|f(A+B)\| \leq \|f(A)+f(B)\|$ および拡大的同値変換不等式 $\|f(Z^*AZ)\| \leq \|Z^*f(A)Z\|$ を特別な場合として含む。
• 証明は初等的であり、積分表現を用いない。キ・ファンノルムおよびスペクトル射影に依存する。
• 作用素ノルムの場合、$Z_i$ が可逆かつ拡大的である限り、無限次元ヒルベルト空間へも結果が拡張可能である。
• 系3.2は、凸関数 $g$（$g(0)=0$）に対して双対不等式 $\|\sum Z_i^* g(A_i) Z_i\| \leq \|g(\sum Z_i^* A_i Z_i)\|$ を示し、$Z_i=I$ のときコセムの結果を回復する。
• 本稿は、定理2.1（拡大的同値変換）の新たな証明を提供し、初期の証明の制限を克服して無限次元へ拡張可能である。