[論文レビュー] Conditional Indexing Lower Bounds Through Self-Reducibility

Massimo Equi, Veli Mäkinen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

semigroups and automata theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、直交ベクトル仮説（OVH）に基づいて、インデックス付き問題の条件付き下界を導出する一般化された手法を導入する。直交ベクトル問題およびそれへ還元可能な問題は、多項式時間でのインデキシングが不可能であり、サブ二次時間でのクエリをサポートできないことが証明され、グラフ上の正確な文字列照合における最初のタイトな条件付き下界を確立し、特定の無環NFAの多項式時間決定化が不可能であることを示唆する。

ABSTRACT

We provide a general technique to turn a conditional lower bound result based on the Orthogonal Vectors Hypothesis (OVH) into one for the indexed version of the same problem. This consists of two results that hold under OVH: (i) the Orthogonal Vectors (OV) problem cannot be indexed in polynomial time to support sub-quadratic time queries, and (ii) any problem to which OV reduces with a natural property also cannot be indexed in polynomial time to support fast queries. We demonstrate the power of this technique on the problem of exact string matching on graphs, deriving the first, and tight, conditional lower bound for its indexed version. The result has an interesting corollary for automata theory: Unless OVH is false, there is no polynomial determinisation algorithm of a finite automaton, even for an acyclic non-deterministic automata whose only non-deterministic transitions are from the start state. For another example of the use of the technique, we apply it to the reduction by Backurs and Indyk (STOC 2015) on edit distance. This results into the first tight conditional indexing lower bound for approximate string matching. This strengthens the recent tailored reduction by Cohen-Addad, Feuilloley and Starikovskaya (SODA 2019), but with a slightly different boundary condition.

研究の動機と目的

• 直交ベクトル（OV）問題のインデックス付きバージョンに対する、直交ベクトル仮説（OVH）のもとでの条件付き下界を確立すること。
• OVHのもとで、自然な還元性を持つ還元可能な問題へその下界を拡張すること。
• この手法を用いて、グラフ上でのインデックス付き正確な文字列照合に対する最初のタイトな条件付き下界を導出すること。
• 特に、限定的な非決定性を持つ無環NFAにおける多項式時間決定化の存在に関するオートマトン理論への影響を示すこと。
• 一般化された還元を介して編集距離による近似文字列照合のインデキシングに対する、最初のタイトな条件付き下界を導出することにより、先行研究の特化された還元を強化すること。

提案手法

• 自己還元性を活用して、標準的な問題からの条件付き下界をインデックス付き問題の変種へ変換する。
• OVHを適用して、OV問題に対してサブ二次時間クエリをサポートする多項式時間インデキシング構造が存在しないことを示す。
• 自然な還元性を用いて、OVへ還元可能な任意の問題へその下界を拡張する。
• このフレームワークをグラフ上での正確な文字列照合に適用し、タイトなインデキシング下界を導出する。
• 結果をオートマトン理論へ転送し、開始状態からのみ非決定的遷移を持つ無環NFAに対して、多項式時間の決定化が存在しないことを示す。
• バックルス＝インディク還元を介して近似文字列照合へ拡張し、編集距離インデキシングに対するタイトな下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な直交ベクトル問題の条件付き下界を、OVHのもとでそのインデックス付き変種へ移行可能か？
• RQ2 このようなインデキシング下界が、グラフ上での正確な文字列照合に与える影響は何か？
• RQ3 OVHを仮定した場合、開始状態でのみ非決定的遷移を持つ無環非決定的有限オートマトンに対して、多項式時間決定化アルゴリズムが存在するか？
• RQ4 この手法を用いて、編集距離による近似文字列照合のためのタイトな下界を導出可能か？
• RQ5 編集距離インデキシングの文脈において、このフレームワークは先行の特化された還元と比べてどのように異なるか？

主な発見

• OVHのもとでは、インデックス付き直交ベクトル問題は多項式時間の前処理とサブ二次時間クエリを同時に満たすことはできない。
• 自然な還元性を満たすOVへ還元可能な任意の問題も、同様のインデキシング下界を継承する。
• グラフ上でのインデックス付き正確な文字列照合に対する最初のタイトな条件付き下界が確立された。
• OVHが誤りではない限り、開始状態からのみ非決定的遷移を持つ無環NFAに対して、多項式時間の決定化アルゴリズムは存在しない。
• この手法により、編集距離による近似文字列照合のインデキシングに対する最初のタイトな条件付き下界が得られ、先行の特化された還元を改善した。
• このフレームワークは、コーエン＝アダド、フォイヨレー、スタリコフスカヤの先行結果を一般化・強化しており、わずかに異なる境界条件を採用している。