[論文レビュー] Conditionally Optimal Algorithms for Generalized Büchi Games

Krishnendu Chatterjee, Wolfgang Dvořák+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Formal Methods in Verification参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グラフおよびマーカフ決定プロセス（MDPs）における一般化 Büchi ゲームについて、条件付き最適なアルゴリズムを提示し、広く受け入れられている複雑性仮定の下で、モデルチェックイング問題に対する最初の条件付き非線形下界を確立している。それは、論理和（目的の集合の和集合）が論理積（目的の集合の積集合）よりも根本的に難しいことを示しており、個々の目的が同じタイプであっても、論理和の下界は論理積の下界を厳密に上回ることを示しており、Büchi、co-Büchi、Streett、Rabin などの ω-正規目的に関して、新たなモデルおよび目的の分離結果を証明している。

ABSTRACT

Games on graphs provide the appropriate framework to study several central problems in computer science, such as verification and synthesis of reactive systems. One of the most basic objectives for games on graphs is the liveness (or Büchi) objective that given a target set of vertices requires that some vertex in the target set is visited infinitely often. We study generalized Büchi objectives (i.e., conjunction of liveness objectives), and implications between two generalized Büchi objectives (known as GR(1) objectives), that arise in numerous applications in computer-aided verification. We present improved algorithms and conditional super-linear lower bounds based on widely believed assumptions about the complexity of (A1) combinatorial Boolean matrix multiplication and (A2) CNF-SAT. We consider graph games with n vertices, m edges, and generalized Büchi objectives with k conjunctions. First, we present an algorithm with running time O(k*n^2), improving the previously known O(k*n*m) and O(k^2*n^2) worst-case bounds. Our algorithm is optimal for dense graphs under (A1). Second, we show that the basic algorithm for the problem is optimal for sparse graphs when the target sets have constant size under (A2). Finally, we consider GR(1) objectives, with k_1 conjunctions in the antecedent and k_2 conjunctions in the consequent, and present an O(k_1 k_2 n^{2.5})-time algorithm, improving the previously known O(k_1*k_2*n*m)-time algorithm for m > n^{1.5}.

研究の動機と目的

• グラフおよび MDP における基本的なモデルチェックイング問題について、多項式時間の上界（二次または三次）と非線形下界の欠如の間のギャップを埋めること。
• Büchi、co-Büchi、Streett、Rabin などの ω-正規目的について、広く受け入れられている複雑性仮定に基づく、最初の条件付き下界を確立すること。
• 条件付き複雑性仮定の下で、グラフと MDP の間のモデル分離、および論理積と論理和の目的の間の目的分離を示すこと。
• 論理和（目的の和集合）が、個々の目的が同じタイプであっても、論理積（目的の積集合）よりも本質的に難しいことを示すこと。

提案手法

• 標準的な仮定（A1）：O(n^{3−ε}) の組み合わせ的ブール行列積が存在しないこと、および（A2）：2^{(1−ε)n} 時間で k-CNF-SAT を解くアルゴリズムが存在しないことに基づく条件付き下界を活用すること。
• 目標頂点からのサイクル長を追跡するために二頂点分割（sin, sout）を用いた変更されたグラフにおける最短経路計算に、論理和クエリのモデルチェックイング問題を還元すること。
• 距離 j がエッジ重み付きグラフにおける経路長 j に対応するように、Qj を用いたマルチレベルの BFS に類似した走査を用いること。
• 各頂点が各レベルで一度しか処理されないようマーキング機構を採用し、シングルトン co-Büchi ケースで O(m) 時間計算量を達成すること。
• 帰納法による正しさの証明：Qj はちょうど sout からの距離 j にある頂点を含み、すべての Ti を避けるサイクルが k ステップ未満で到達可能であることは sin が k ステップ未満で到達可能であることと同値である。
• 同じフレームワークをシングルトン集合を用いた Rabin 目的に適用し、同じ線形時間計算量が成り立つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MDP における Büchi 目的の論理和クエリについて、グラフにおける論理積クエリの既知の上界を超える条件付き非線形下界が存在するか？
• RQ2 同じ目的について、グラフと MDP の間に分離を確立できるか。特に、条件付き複雑性仮定の下で MDP がより長い時間を要するか？
• RQ3 個々の目的が同じタイプ（例：co-Büchi）であっても、目的の論理和が論理積よりも本質的に難しいか？
• RQ4 ブール行列積や CNF-SAT などの標準的複雑性予想を用いて、一般化 Büchi ゲームのための条件付き下界を確立できるか？

主な発見

• この論文は、広く受け入れられている複雑性仮定の下で、グラフおよび MDP におけるモデルチェックイング問題に対する最初の条件付き非線形下界を確立している。
• co-Büchi 目的の論理和クエリについては、グラフ上でのアルゴリズムが O(m) 時間で実行され、同様の問題に対する既知の最良上界と一致する。
• 条件付き下界として、論理和（目的の和集合）の下界が、個々の目的が同じタイプであっても、論理積（目的の積集合）の既知の上界を厳密に上回ることを示している。
• モデル分離が示されている：MDP においては、到達可能性および Büchi 目的の論理和クエリが、グラフよりも本質的に難しい。同じ複雑性仮定の下で成立する。
• 到達可能性／安全および Streett／Rabin のような双対的目的について、グラフおよび MDP の両方で目的分離結果を確立している。
• 強連結グラフにおけるシングルトン co-Büchi 目的のためのアルゴリズムは線形時間 O(m) で実行され、分割頂点からの距離を追跡するレイヤード BFS トレバーサルにより正しさが証明されている。