[論文レビュー] Conductors and newforms for non-supercuspidal representations of unramified U(2,1)

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p ≠ 2 である p-進体上の非分岐ユニタリ群 U(2,1) の非超臨界的一般表現について、その導出数を決定し、新形式を明示的に構成する。開コンパクト部分群 K_n の族を用いて、新形式がホイットカー関数へのテストベクトルであることを証明し、そのゼータ積分における非消滅性を確立する。誘導表現の場合、導出数は 2c(μ₁) + c(μ₂) であることが示され、新形式の空間は1次元である。

ABSTRACT

Let G be the unramified unitary group in three variables defined over a p-adic field with odd p. The conductors and newforms for representations of G are defined by using a certain family of open compact subgroups of G. In this paper, we determine the conductors of non-supercuspidal representations of G, and give explicit newforms in induced representations for non-supercuspidal generic representations.

研究の動機と目的

• p ≠ 2 である p-進体上の非分岐ユニタリ群 U(2,1) の非超臨界的一般表現の導出数を決定すること。
• 非超臨界的一般表現の誘導表現における新形式を明示的に構成すること。
• 非超臨界的表現の新形式がホイットカー関数へのテストベクトルであることを証明し、ゼータ積分における非消滅性を保証すること。
• GL(2) や超臨界的表現を超える、U(2,1) の非超臨界的ケースへの局所的新形式理論を拡張すること。

提案手法

• 導出数は、表現における K_n 固定ベクトルの空間が非自明になる最小の n として計算される。ここで K_n は、分数イデアルに属する行列成分を持つ開コンパクト部分群の族である。
• ボレル部分群からの誘導表現の場合、導出数は 2c(μ₁) + c(μ₂) に等しくなることが示され、c(μ_i) は文字 χ_i の導出数である。
• レベル上昇作用素 θ′ を用いて、可約な誘導表現内での一般部分表現を特定する。特に、誘導表現が可約である場合に有効である。
• 具体的な関数として、BK_n に台を持つ新形式を誘導表現空間に明示的に構成し、その恒等元における非消滅性を証明する。
• レベル上昇作用素 θ′ が新形式空間上で単射であることを示すことにより、テストベクトル性を確立する。これにより、ホイットカー周期の非消滅性が導かれる。
• θ′ および η 演算子の作用を用いて、n ≥ N_π のとき、旧形式空間 V(n) の次元が ⌊(n − N_π)/2⌋ + 1 に等しいことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p ≠ 2 である p-進体上の非分岐ユニタリ群 U(2,1) の非超臨界的一般表現の導出数は何か？
• RQ2 U(2,1) の非超臨界的一般表現に対して、新形式をどのように明示的に構成できるか？
• RQ3 U(2,1) の非超臨界的表現の新形式は、ホイットカー関数へのテストベクトルか？
• RQ4 n > N_π のとき、K_n 固定ベクトル（旧形式）の空間の次元は何か？
• RQ5 誘導表現の導出数は、その誘導文字の導出数とどのように関係するか？

主な発見

• 誘導表現 Ind_B^G(μ₁ ⊗ μ₂) の導出数は 2c(μ₁) + c(μ₂) に等しく、ここで c(μ_i) は文字 μ_i の導出数である。
• 任意の非自明な一般非超臨界的表現 π に対して、新形式空間 V(N_π) は1次元である。
• V(N_π) 内の任意の非ゼロベクトル f は f(1) ≠ 0 を満たす。これにより、恒等元における非消滅性が保証される。
• レベル上昇作用素 θ′ は V(N_π) 上で単射である。これにより、新形式がホイットカー関数へのテストベクトルであることが導かれる。
• n ≥ N_π のとき、旧形式空間 V(n) の次元は ⌊(n − N_π)/2⌋ + 1 に等しい。
• 新形式は誘導表現空間内のある特定関数の非ゼロ倍であり、任意の非ゼロ v ∈ V(N_π) に対して、そのホイットカー周期 W_v(1) は非ゼロである。