[論文レビュー] Confinement/Deconfinement Transition of Large N Gauge Theories in Perturbation Theory with N_f Fundamentals: N_f/N Finite

Howard J. Schnitzer|ArXiv.org|Dec 11, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、有限の基本的フェルミオンの数 $N_f$ とゲージ群のランク $N$ の比 $N_f/N$ を持つ大規模 N ゲージ理論が、有限の't Hooft結合子 $\lambda$ でさえも摂動論において第三位相転移を示すことを示している。この転移は、ユニタリ行列モデルの鞍点方程式の構造に起因する有効作用の自由エネルギーの第三位の挙動に起因し、双対ストリング理論が大スケールのブラックホールへの第三位のハーキング・ページ転移を経験することを示唆している。

ABSTRACT

In hep-th/0402219 we considered large N zero-coupling d-dimensional U(N) gauge theories, with N_f matter fields in the fundamental representation on a compact spatial manifold S^{d-1}x time, with N_f/N finite. This class of theories undergo a 3rd order deconfinement transition. As a consequence it was proposed that the dual string theory has a 3rd order phase-transition to a black hole at high temperature. In this paper we argue that the same conclusions are valid for such theories at any finite order in perturbation theory in the 't Hooft coupling lambda and N_f/N. It is conjectured that this continues to hold at strong coupling and finite value of N_f/N < (1/lambda), which suggests that the supergravity approximation to the dual string theory has a 3rd order thermal phase transition to a large black hole.

研究の動機と目的

• 有限の't Hooft結合子 $\lambda$ を持つ摂動論において、有限の $N_f/N$ を持つゼロ結合子の下での大規模 N ゲージ理論で観測された第三位の閉じ込め／解きほぐし相転移が継続するかどうかを調査すること。
• 特に、定数固有値分布 $\rho(\theta) = 1/(2\pi)$ が有限の $\lambda$ および $N_f/N$ の順序で有効に保たれるかどうかを特定すること。
• 特に $N_f/N$ が有限で $\lambda$ が強い場合に、双対ストリング理論が大スケールのブラックホールへの第三位のハーキング・ページ転移を経験できるかどうかを検討すること。
• 条件 $N_f/N < 1/\lambda$ および $g_s N \gg 1$ の下で摂動論を超えて第三位の転移が継続すると仮説を立てる。

提案手法

• ゲージ場のゼロモードをユニタリ行列モデルで記述し、't Hooft結合子 $\lambda$ と $N_f/N$ の二重展開として有効作用 $S_{\text{eff}}$ を定式化する。
• ユニタリ行列 $U = e^{i\alpha/T}$ の固有値密度 $\rho(\theta)$ と $u_n = \frac{1}{N} \text{Tr}(U^n)$ を定義し、相構造を記述する。
• $u_n$ の鞍点方程式を解析し、$n \geq 1$ に対して $u_n = 0$ が有限の $\lambda$ および $N_f/N$ の順序で解として成立しないこと、$\rho(\theta) = 1/(2\pi)$ を除外することを示す。
• $F(g_k, \bar{g}_k)$ の振る舞いを通じて相転移を特定し、$\rho(\pi) = 0$ のとき、$g_1 = \bar{g}_1 \simeq 1/2$ に対応して第三位の転移を示す。
• $S_{\text{eff}} = -F(g_k, \bar{g}_k) + f(g_k, \bar{g}_k)$ の分解を用い、$f$ が滑らかで $F$ が第三位の特異性を持つことから、全作用が $F$ の第三位の性質を引き継ぐと主張する。
• $N_f/N < 1\lambda$ および $g_s N \gg 1$ の下で、強い結合子領域でも第三位の転移が継続すると仮説を立てる。この仮説は、超重力双対理論における第三位のハーキング・ページ転移を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の't Hooft結合子を伴う摂動論において、有限の $N_f/N$ を持つゼロ結合子の下での大規模 N ゲージ理論における第三位の閉じ込め／解きほぐし相転移は、生存するか？
• RQ2 有限の $\lambda$ および $N_f/N$ の順序で、低温相における固有値分布 $\rho(\theta)$ が定数となる可能性はあるか？
• RQ3 有効作用における低温相 $A_0$ と高温相 $A_1$ の間の相転移の性質は何か？
• RQ4 滑らかな関数 $f(g_k, \bar{g}_k)$ と組み合わされた自由エネルギー $F(g_k, \bar{g}_k)$ の第三位の挙動は、全有効作用においても保たれるか？
• RQ5 $N_f/N$ が有限で非ゼロであるとき、双対ストリング理論が大スケールのブラックホールへの第三位のハーキング・ページ転移を経験できるか？

主な発見

• ユニタリ行列モデルの鞍点方程式は、$\lambda$ および $N_f/N$ の任意の有限の順序で $\rho(\theta) = 1/(2\pi)$ を解としない。これは、低温相における一様な固有値分布が除外されることを示唆する。
• 低温相 $A_0$ は $[0, 2\pi)$ 全体に広がる非一様な $\rho(\theta)$ を特徴とし、高温相 $A_1$ は固有値分布に一つのギャップを持つ。
• 相 $A_0$ と $A_1$ 間の転移は、ハーゲルド温度より低い臨界温度 $T_c$ で発生し、自由エネルギーの三階微分が示すように第三位である。
• 有効作用 $S_{\text{eff}} = -F(g_k, \bar{g}_k) + f(g_k, \bar{g}_k)$ は、$F(g_k, \bar{g}_k)$ の第三位特異性を引き継ぎ、$f$ が滑らかであるため、全体の転移は第三位である。
• 著者らは、$N_f/N < 1/\lambda$ の下で、強い結合子領域でもこの第三位の転移が継続すると仮説を立てる。これは、超重力双対理論における第三位のハーキング・ページ転移を示唆する。
• 現在のところ、有限の $N_f/N$ を持つストリング理論双対で第三位のブラックホールへの転移を示す例は知られておらず、これは AdS/CFT 対応における重要な未解決課題である。