[論文レビュー] Confinement of dislocations inside a crystal with a prescribed external strain

Ilaria Lucardesi, Marco Morandotti+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元等方性結晶におけるナノスケールのスクリュー不履歴を、反平面せん断下で、コア半径法を用いて特異的弾性エネルギーを正則化することで、その閉じ込めを研究している。外部ひずみの境界積分が $2\beta n$ に等しいと、系は結晶内部に $n$ 個の明確に分離した不履歴をエネルギー的に好む。$\epsilon \to 0$ の極限におけるエネルギー汎関数は、それらが中心付近または対称性制約下で安定して閉じ込められていることを裏付けている。

ABSTRACT

A system of $n$ screw dislocations in an isotropic crystal undergoing antiplane shear is studied in the framework of linear elasticity. Imposing a suitable boundary condition for the strain, namely requesting the non-vanishing of its boundary integral, results in a confinement effect. More precisely, in the presence of an external strain with circulation equal to n times the lattice spacing, it is energetically convenient to have n distinct dislocations lying inside the crystal. The result is obtained by formulating the problem via the core radius approach and by studying the asymptotics as the core size vanishes. An iterative scheme is devised to prove the main result. This work sets the basis for studying the upscaling problem, i.e., the limit as $n o\infty$, which is treated in [17].

研究の動機と目的

• 反平面せん断下における $n$ 個のスクリュー不履歴のエネルギー的安定化を理解すること。
• 循環 $2\pi n$ を指定した外部ひずみが、結晶内における不履歴の閉じ込めに果たす役割を分析すること。
• コア半径 $\epsilon \to 0$ の極限において、正則化エネルギー汎関数の最小値の存在を確立し、不履歴が明確かつ内部に留まるように保証すること。
• 今後の研究で扱われる $n \to \infty$ のスケーリング極限の基盤を築くこと。

提案手法

• 不履歴コアを除いた穿孔領域 $\Omega_\epsilon(\mathbf{a}) = \Omega \setminus \bigcup_{i=1}^n \overline{B}_\epsilon(a_i)$ における弾性エネルギーを定式化する。
• 不履歴近傍でのひずみ場の対数特異性を正則化するためにコア半径法を用いる。
• 境界 $\partial\Omega$ における接線方向ひずみ $F \cdot \tau = f$ の境界条件を課し、$\int_{\partial\Omega} f \, d\mathcal{H}^1 = 2\pi n$ とすることで位相的閉じ込めを実現する。
• 発散なしの場に対して循環を指定したもとで、$\frac{1}{2} \int_{\Omega_\epsilon} |F|^2$ の最小値としてエネルギー汎関数 $\mathcal{E}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a})$ を定義する。
• 極限 $\epsilon \to 0$ を調べるために、$\mathcal{F}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a}) = \mathcal{E}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a}) - \pi n |\log \epsilon|$ を導入し、再正則化エネルギーを定義する。
• 反復スキームとコンパクト性の議論を用いて、最小値の存在と $\mathcal{F}^{(n)}$ への収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 循環 $2\pi n$ を持つ外部ひずみが、結晶内部に $n$ 個の明確に分離した不履歴を閉じ込める条件は何か？
• RQ2 コア半径正則化が、$\epsilon \to 0$ 時における弾性エネルギーの漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ3 極限エネルギー汎関数 $\mathcal{F}^{(n)}$ は最小化可能か？その最小値が不履歴配置に何を示すか？
• RQ4 異なる境界ひずみプロファイル下で、$\epsilon \to 0$ 時における不履歴の空間的分布はどのように変化するか？
• RQ5 特に対称的配置において、$n \to \infty$ 時にエネルギーと不履歴位置はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• $\mathcal{F}_\epsilon^{(n)}$ は下から有界であり、$n$ 個の明確に分離した点（境界から少なくとも $\delta > 0$ 離れている）の配置 $\mathbf{a}^\epsilon$ で最小値をとる。
• $\epsilon \to 0$ 時、最小値点 $\mathbf{a}^\epsilon$ は部分列を除いて、極限エネルギー $\mathcal{F}^{(n)}$ の最小値点に収束する。これにより、安定で閉じ込められた不履歴配置が裏付けられる。
• $n=1$ かつ円形領域の場合、エネルギーの形状は回転対称的で、$f=1$ のとき中心で最小化される。非対称な $f$ の場合、最小値はひずみが大きい領域にずれる。
• $n \geq 2$ の場合、原点を中心とする正 $n$ 角形上での $\mathcal{F}^{(n)}$ の最小化を考えると、$n \to \infty$ 時に $\mathrm{dist}(\mathbf{p}_n, \partial\Omega) \sim 1/n$ かつ $|\mathcal{F}^{(n)}(\mathbf{p}_n)| \sim n^2$ となる。これは、閉じ込めの強化とエネルギーのスケーリングを示している。
• 極限エネルギー $\mathcal{F}^{(n)}$ は $\overline{\Omega}^n$ 上で連続的かつ強制的であり、$\epsilon \to 0$ 時の最小値の存在を保証する。
• 数値結果により、$\epsilon$ が小さいとき、$\mathcal{F}^{(1)}$ のエネルギープロファイルが $\mathcal{E}_\epsilon^{(1)}$ の物理的エネルギー分布をよく再現しており、漸近モデルの妥当性が裏付けられている。