[論文レビュー] Conformal Deformation on Manifolds with Boundary

Szu-yu Sophie Chen|ArXiv.org|Nov 15, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンpactな4次元多様体の umbilic境界を持つような共形計量の存在結果を確立し、$\sigma_2$ 曲率が定数であり、境界の曲率不変量 $\mathcal{B}_{\hat{g}}$ が消えることを示している。境界付き多様体上での変分法を用いて、非線形曲率関数へのヤマベ問題の一般化を行い、$\sigma_k$ 曲率の臨界点の特徴づけを証明するとともに、非ディリクレ型境界条件をもつ完全非線形偏微分方程式に対する $C^2$ 評価を確立している。

ABSTRACT

We consider natural conformal invariants arising from the Gauss-Bonnet formulas on manifolds with boundary, and study conformal deformation problems associated to them. The key technique we used is to derive boundary C^2 estimates directly from C^0 estimates for fully nonlinear equations. The main result has appeared in the author's thesis.

研究の動機と目的

• ガウス＝ボンネの公式から導かれる共形不変量を用いて、境界付き多様体への非線形ヤマベ問題の拡張を試みること。
• 体積正規化の下で関数 $\mathcal{F}_k(g) = \int_M \sigma_k(A_g) + \oint_{\partial M} \mathcal{B}^k_g$ の臨界点を特徴づけること。
• 特に4次元において $k=2$ の場合に、$\sigma_k(A_{\hat{g}})$ が定数であり、境界で $\mathcal{B}^k_{\hat{g}} = 0$ となるような共形計量の存在を確立すること。
• 境界付き共形変形問題から生じる完全非線形楕円型偏微分方程式に対する事前評価を確立すること。
• 閉多様体からの結果を境界付き多様体へ一般化するため、適切な境界曲率不変量 $\mathcal{B}^k$ を定義すること。

提案手法

• 接続方向のシューレンテンテンソルと第二基本形式の混合対称関数を用いて、境界曲率不変量 $\mathcal{B}^k$ を定義し、$k=2$ および $k\geq3$ の場合に特別な形を与える。
• 関数 $\mathcal{F}_k(g) = \int_M \sigma_k(A_g) + \oint_{\partial M} \mathcal{B}^k_g$ を導入し、体積正規化の下での臨界点を検討する。
• 適切な曲率的および位相的条件下で、$\mathcal{F}_k|_{\mathcal{M}}$ の臨界点が $\sigma_k(A_g) = \text{定数}$ および $\partial M$ 上で $\mathcal{B}^k_g = 0$ を満たす解に対応することを証明する。
• 切断関数および最大原理の技法を用いて、$\sigma_2(A_{\hat{g}}) = f$ かつ $\mathcal{B}_{\hat{g}} = 0$ となる解の $C^2$ 評価を確立する。
• $F = \sigma_2^{1/2}$ の凹性と曲率推定を用いて、$u_{nnn}$ の下界を導出し、$e^{ax_n}$ を含む補助関数を用いて $\Delta u$ を制御する。
• 重み付き関数 $H = \eta(\Delta u + |\nabla u|^2)e^{ax_n}$ に最大原理を適用し、$\Delta u$ および $|\nabla u|$ の一様有界性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き多様体への非線形ヤマベ問題を、定数 $\sigma_2$ 曲率と境界曲率 $\mathcal{B}_g$ の消える共形計量の存在によって拡張できるか？
• RQ2 境界付き多様体へのガウス＝ボンネの公式の一般化に適した境界曲率不変量 $\mathcal{B}^k$ は何か？
• RQ3 関数 $\mathcal{F}_k(g) = \int_M \sigma_k(A_g) + \oint_{\partial M} \mathcal{B}^k_g$ が $\sigma_k(A_g) = \text{定数}$ および $\mathcal{B}^k_g = 0$ に対して臨界的であるための条件は何か？
• RQ4 非ディリクレ型、斜交型境界条件をもつ共形変形問題から生じる完全非線形偏微分方程式に対して、$C^2$ 評価をどのように確立できるか？
• RQ5 $\mathcal{F}_k|_{\mathcal{M}}$ の臨界点特徴づけは、局所共形平坦性または umbilic 境界の仮定の下で $k \geq 3$ に対しても成り立つか？

主な発見

• コンパクトな4次元多様体が umbilic 境界を持つ場合、ヤマベ定数 $Y(M,\partial M,[g])$ および共形不変量 $\int_M \sigma_2(A_g) + \frac{1}{2}\oint_{\partial M} \mathcal{B}_g$ が正であれば、$\sigma_2(A_{\hat{g}})$ が定数であり、$\mathcal{B}_{\hat{g}} = 0$ となる共形計量 $\hat{g}$ が存在する。
• より一般的な存在結果が成り立つ：任意の正関数 $f$ に対して、$M$ が標準的ヘミスフィアと共形同値でない限り、$\sigma_2(A_{\hat{g}}) = f$ かつ $\mathcal{B}_{\hat{g}} = 0$ となる共形計量 $\hat{g}$ が存在する。
• $\mathcal{F}_2(g)$ が体積正規化共形類上で臨界点を持つのは、$n \neq 4$ のとき、$\sigma_2(A_g) = \text{定数}$ かつ $\partial M$ 上で $\mathcal{B}^2_g = 0$ である場合に限る。
• $n > 2k$ かつ局所共形平坦な多様体では、$\mathcal{F}_k(g)$ が臨界点を持つのは、$\sigma_k(A_g) = \text{定数}$ かつ $\partial M$ 上で $\mathcal{B}^k_g = 0$ である場合に限る。
• 境界が umbilic であるとき、臨界点特徴づけはすべての $n \neq 2k$ に対して成り立ち、局所平坦でない場合にも一般化される。
• 本稿では、$\sigma_2(A_{\hat{g}}) = f$ かつ $\mathcal{B}_{\hat{g}} = 0$ となる解の $C^2$ 評価を確立し、重み付き最大原理を用いて、$\overline{B}^+_{r/2}$ 上で $\Delta u$ および $|\nabla u|$ が一様に有界であることを証明した。