[論文レビュー] Conformal invariance in the three dimensional (3D) Ising model and quaternionic geometric phase in quaternionic Hilbert space

Zhidong Zhang, N. H. March|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素数重み付きクオータニオン座標を用いて、2次元の conformal field theory を3次元に拡張するクオータニオン的拡張を提案する。各複素平面に独立に Virasoro代数を一般化することで、3次元の conformal invariance を実現する。3次元イジングスピン系におけるノードスムージングに起因するクオータニオン的幾何的位相を同定し、3次元統計力学における conformal invariance の新しい枠組みを提供する。ブレーンやストリングの世界体積物理学への応用が期待される。

ABSTRACT

Based on the quaternionic approach developed by one of us [Z.D. Zhang, Phil. Mag. 87 (2007) 5309.] for the three-dimensional (3D) Ising model, we study in this work conformal invariance in three dimensions. We develop a procedure for treating the 3D conformal field theory. The 2D conformal field theory is generalized to be appropriate for three dimensions, within the framework of quaternionic coordinates with complex weights. The Virasoro algebra still works, but for each complex plane of quaternionic coordinates. The quaternionic geometric phases appear in quaternionic Hilbert space as a result of diagonalization procedure which involves the smoothing of knots/crossings in the 3D many-body interacting spin Ising system. Possibility for application of conformal invariance in three dimensions on studying the behaviour of the world volume of the brane, or the world sheet of the string in 3D or (3+1)D, is briefly discussed.

研究の動機と目的

• 3次元（3D）統計場理論における conformal invariance の枠組みを確立すること、特に3次元イジング模型に対して。
• 複素数重み付きクオータニオン座標を用いて、2次元 conformal field theory の形式的枠組みを3次元に一般化すること。
• 多体スピン系のトポロジー的特徴に起因する、クオータニオン的ヒルベルト空間内での幾何的位相の出現を調査すること。
• 対角化手続き中に、ノードおよびクロスイングのスムージングがクオータニオン的幾何的位相を生成する役割を調査すること。
• 3次元 conformal invariance が、ブレーンやストリングの世界体積ダイナミクスを含む、高次元物理学に与える可能性のある応用を提案すること。

提案手法

• クオータニオン座標内の各複素平面に独立に2次元 Virasoro代数を適用することで、3次元への拡張を実現する。
• 2次元を超える conformal field theory の一般化のため、複素数重み付きクオータニオン座標を導入する。
• 3次元多体イジングスピン系に対して、トポロジカルなスムージング（ノード／クロスイング）を含む対角化手続きを適用する。
• 得られた量子位相をクオータニオン的ヒルベルト空間で分析し、それらをクオータニオン的幾何的位相として同定する。
• 回転対称性および conformal 対称性を3次元臨界系でモデル化するために、クオータニオンの数学的構造を用いる。
• 世界体積および世界面ダイナミクスと関連づけることで、3次元における conformal invariance をストリング理論およびブレーン理論に類似させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 conformal field theory の枠組みは、クオータニオン幾何を用いて3次元に一般化可能か？
• RQ2 スピン配置のトポロジカルなスムージングが行われる3次元多体スピン系（例：イジング模型）において、幾何的位相はどのようにして出現するか？
• RQ3 クオータニオン座標に拡張された際、3次元 conformal field theory における Virasoro代数の役割は何か？
• RQ4 クオータニオン的ヒルベルト空間は、3次元臨界系のトポロジカルおよび conformal 特性をどのように符号化するか？
• RQ5 3次元 conformal invariance は、(3+1)次元時空におけるブレーンやストリングのダイナミクスにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 2次元 Virasoro代数は、クオータニオン座標内の各複素平面に独立に適用することで、3次元に一般化された。
• 3次元イジング模型におけるトポロジカル障害（ノード／クロスイング）のスムージングを含む対角化プロセスの結果、ヒルベルト空間にクオータニオン的幾何的位相が出現した。
• 複素数重み付きクオータニオン座標の使用により、3次元イジング模型の conformal invariance が裏付けられ、一貫性のある3次元 conformal field theory の枠組みが確立された。
• 本稿は、スピン系におけるトポロジカル特徴と、非可換クオータニオン的ヒルベルト空間内の量子幾何的位相との間に接続を確立した。
• この枠組みは、(3+1)次元時空におけるブレーンやストリングの世界体積の研究を含む、高次元物理学への応用への可能性を示唆している。
• 非可換幾何と conformal 対称性を用いた、3次元系における臨界現象を研究するための新しい数学的道筋を提供した。