[論文レビュー] Conformal scalar fields, isotropic singularities and conformal cyclic cosmologies

Christian Lübbe|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、宇宙定数と四次自己相互作用を含む共形スカラー場を用いて、ペネローズの共形的循環宇宙論（CCC）の数学的枠組みを提案する。ボケンシュタインの双対性を拡張し、共形スカラー場と放射性流体を有する時空が、等方的特異性を有する解と双対的であることを示し、このような時空の存在と安定性を証明し、初期データの微調整を共形場力学の範囲内で超える必要なく、連続するアオンの生成メカニズムを示唆する。

ABSTRACT

We analyse spacetimes with a conformal scalar field source, a cosmological constant and a quartic self-interaction term for the scalar field. We also consider additional matter contents in the form of Maxwell and Yang-Mills fields or radiation fluids. Existence theorems for weakly asymptotically flat spacetimes are given. We give a generalisation of Bekenstein's result [Ann. Phys. 82, 535 (1974)] and use it to derive existence theorems for spacetimes that contain an isotropic singularity. The results are combined to suggest a mathematical setup for Penrose's CCC scenario using a conformal scalar field cosmology.

研究の動機と目的

• 共形スカラー場を有する時空の数学的厳密な構成を提供し、ペネローズの共形的循環宇宙論（CCC）のシナリオを支持する。
• ボケンシュタインの通常スカラー場と共形スカラー場の双対性を、非ゼロの宇宙定数および四次自己相互作用項を含むように拡張する。
• 一般の物質内容（アインシュタイン＝マックスウェル＝ヤン・ミルズおよび放射性流体を含む）の下で、弱く漸近的に平坦な時空および等方的特異性を有する時空の存在定理を確立する。
• 共形スカラー場解同士の双対性が、未来の光的無限遠で初期データの微調整を要さずに、CCCにおける新しいアオンを生成できるかを調査する。
• 双対時空の安定性を分析し、一つのアオンの未来の光的無限遠を次のアオンのビッグバン特異性に接続する可能性を評価する。

提案手法

• 物理的時空 $(\tilde{M}, \tilde{g})$ を未物理的時空 $(M, g)$ に埋め込む共形的手法を用い、$g = \theta^2 \tilde{g}$ とし、$\theta$ が未来の光的無限遠で消えるか、等方的特異点で発散するようにする。
• ボケンシュタインの双対性を、通常スカラー場を有する物理的時空と共形スカラー場を有するものとを関連付けるものに拡張し、ここでは $\Lambda \neq 0$ および四次自己相互作用を含むようにする。
• 共形スカラー場がヤン・ミルズ、電磁気的、放射性流体と最小結合する場合の共形アインシュタイン場方程式（CEFE）を導出し、解く。宇宙定数はデ de Sitter 的な性質を有する。
• 共形フレームワーク内でのエネルギー推定と制約伝播を用い、弱く漸近的に平坦な解の存在と一意性を確立する。
• 未物理的スカラー場 $\hat{\Phi} = \hat{\phi}/\theta$ がコンパクトな空間的超曲面 $\Sigma$ 上で消えるならば、双対時空 $(\check{M}, \check{g})$ が $\Sigma$ で等方的特異性を発展することを示し、強いウェイリーカラーチューブの仮説を満たすことを証明する。
• 未物理的時空を比較することで安定性を分析し、双対解における $\Sigma$ 近傍の小さな摂動が $\check{\theta} \gg 1$ のため拡大されることを示し、特異点近傍での感度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボケンシュタインの通常スカラー場と共形スカラー場の双対性は、非ゼロの宇宙定数および四次自己相互作用を含むように拡張可能か？
• RQ2 共形スカラー場と標準模型に類似た物質（EM、ヤン・ミルズ、放射）を有する時空は、未来の光的無限遠が明確に定義された弱く漸近的に平坦な解を有するか？
• RQ3 このような解は、等方的特異性を有する時空と双対的か？特異性が強いウェイリーカラーチューブの仮説を満たす条件は何か？
• RQ4 CCCにおける一つのアオンの未来の光的無限遠と次のアオンの等方的特異性との接続は、共形スカラー場双対性によって自然に実現されるのか、それとも初期データの微調整を要するか？
• RQ5 特に共形因子 $\check{\theta}$ が発散する等方的特異点近傍で、双対時空の安定性はどのように振る舞うか？

主な発見

• 弱く漸近的に平坦な時空が共形スカラー場、ヤン・ミルズ場、電磁場、放射性流体を有する場合に、de Sitter 的な宇宙定数を伴い、その存在を示す新しい存在定理が証明された。
• 未物理的スカラー場 $\hat{\Phi}$ がコンパクトな空間的超曲面 $\Sigma$ 上で正確にゼロであるならば、双対時空 $(\check{M}, \check{g})$ が $\Sigma$ で等方的特異性を有することを示し、強いウェイリーカラーチューブの仮説を満たす。
• ボケンシュタインの双対性において、宇宙定数と四次自己相互作用項の係数が入れ替わることを示し、異なる $\Lambda$ および結合定数を持つ新しいアオンを生成するメカニズムが得られた。
• $(\hat{M}, \hat{g})$ と $(\check{M}, \check{g})$ の時空は、ペネローズのCCCにおける連続するアオンとして解釈され、共形スカラー場がそれらを物理的に結ぶ。
• 安定性解析により、弱く漸近的に平坦な解は小さな摂動に対して安定である一方、等方的特異性を有する双対時空は、共形因子 $\check{\theta}$ が発散するため $\Sigma$ 近傍での摂動に対して感度が高いことが示された。
• 結果は、初期データが $\Sigma$ 上で $\hat{\Phi} = 0$ となるように選ばれる限り、追加の手動の接続条件を要さずに、CCCのシナリオが共形スカラー場双対性を用いて数学的に実現可能であることを示唆している。