[論文レビュー] Conformal transformation on metric measure spaces

Bang-Xian Han|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、測度付き距離空間における最初の滑らかでない、内在的な共形変換枠組みを確立し、計量と測度の共形変換の下でリーマンのリッチ曲率、ラプラシアン、ヘッセ行列、微分構造がどのように変化するかの明示的公式を導出している。主な貢献は、古典的な共形リッチ曲率公式の滑らかでない一般化であり、共形摂動の下でも曲率次元条件が保存されることを可能にしている。

ABSTRACT

We study several problems concerning conformal transformation on metric measure spaces, including the Sobolev space, the differential structure and the curvature-dimension condition under conformal transformations. This is the first result about preservation of lower curvature bounds under perturbation, which is new even on Alexandrov spaces.

研究の動機と目的

• 測度付き距離空間における滑らかでない、厳密な、内在的な共形変換理論を構築し、古典的なリーマンの共形幾何学を滑らかでない設定に拡張すること。
• 計量と測度の共形変換の下でソボレフ空間、微分構造、曲率次元条件がどのように変化するかを特定すること。
• RCD*(K,N)およびRCD(K,∞)の曲率次元条件が共形変換の下で保存されるための条件を確立すること。
• 古典的な共形リッチ曲率公式 (1.1) を局所ヒルベルト的で滑らかでない測度付き距離空間に一般化すること。
• ソボレフからリプシッツ性への性質が共形変換の下で保存されることを証明し、滑らかでない設定でもバクリ＝エメール理論を適用可能にする。

提案手法

• 有界連続関数 $w,v$ を用いて、新しい重み付き計量 $\mathrm{d}'(x,y) = \inf_\gamma \int_0^1 |\dot\gamma_t| e^{w(\gamma_t)} dt$ と重み付き測度 $\mathfrak{m}' = e^v \mathfrak{m}$ を用いて、測度付き距離空間における共形変換を定義する。
• ソボレフ空間 $W^{1,2}(M)$ と $W^{1,2}(M')$ が集合として一致し、$\mathfrak{m}$-almost everywhere で $|\mathrm{D}f|_{M'} = e^{-w} |\mathrm{D}f|_M$ が成り立つことを確立する。
• キャレ・デュ・シャンプ・作用素 $\Gamma$ を用いて、$\mathbf{\Delta}'f = e^{v-2w} (\mathbf{\Delta}f + \Gamma(v-2w,f) \mathfrak{m})$ を用いてラプラシアンの変換を導出する。
• $\mathfrak{m}$-almost everywhere で勾配が $\nabla'f = e^{-2w} \nabla f$ と変換され、内積が $\langle X,Y \rangle_{M'} = e^{2w} \langle X,Y \rangle$ を満たすことを証明する。
• ヘッセ行列の変換公式を導出：$|\mathrm{Hess}'_f|^2_{\rm HS} = e^{-4w} \big( |\mathrm{Hess}_f|^2_{\rm HS} + 2\Gamma(f)\Gamma(w) + (\dim_{\rm loc}-2)\Gamma(f,w)^2 - 2\Gamma(w,\Gamma(f)) + 2\Gamma(f,w)\mathrm{tr}\,\mathrm{Hess}_f \big)$ $\mathfrak{m}$-almost everywhere。
• 共変微分の変換を確立：$\nabla'X:^\prime(Y \otimes Z) = \nabla X:(Y \otimes Z) - \langle Y,\nabla w \rangle \langle X,Z \rangle - \langle Z,\nabla w \rangle \langle X,Y \rangle + \langle X,\nabla w \rangle \langle Y,Z \rangle$ $\mathfrak{m}$-almost everywhere。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでないリーマン計量構造が存在しない状況において、測度付き距離空間における共形変換をどのように内在的に定義できるか。
• RQ2 滑らかでない測度付き距離空間において、計量と測度の共形変換の下で $N$-リッチ曲率テンソルの正確な変換則は何か。
• RQ3 どのような条件下で $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 条件が共形変換の下で保存されるか。
• RQ4 バクリ＝エメール理論の応用に不可欠なソボレフからリプシッツ性への性質が、滑らかでない設定でも共形変換の下で保存されるか。
• RQ5 滑らかでない共形リッチ曲率公式は、リーマン幾何学における古典的公式 (1.1) とどのように関係しているか。

主な発見

• ソボレフ空間 $W^{1,2}(M)$ と $W^{1,2}(M')$ は集合として一致し、$\mathfrak{m}$-almost everywhere で弱上端勾配が $|\mathrm{D}f|_{M'} = e^{-w} |\mathrm{D}f|_M$ と変換される。
• ラプラシアンは $\mathbf{\Delta}'f = e^{v-2w} (\mathbf{\Delta}f + \Gamma(v-2w,f) \mathfrak{m})$ として変換され、$f \in \mathrm{D}(\mathbf{\Delta}')$ である。
• 勾配は $\nabla'f = e^{-2w} \nabla f$ $\mathfrak{m}$-almost everywhere で変換され、内積は $\langle X,Y \rangle_{M'} = e^{2w} \langle X,Y \rangle$ $\mathfrak{m}$-almost everywhere を満たす。
• ヘッセ行列は、$|\mathrm{Hess}'_f|^2_{\rm HS}$ と $\mathrm{tr}\,\mathrm{Hess}'_f$ を含む明示的公式により変換され、局所次元と曲率項が組み込まれている。
• 滑らかでない共形リッチ曲率公式は $\mathbf{Ricci}^\prime_N(\nabla'f,\nabla'f) = e^{(N-4)w} \big( \mathbf{Ricci}_N(\nabla f,\nabla f) + \cdots \big)$ として導出され、古典的公式 (1.1) を一般化している。
• $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 条件は、$K^\prime = \inf_{x \in X} e^{-2w} \big[ K - \Delta w - (N-2)\Gamma(w) - \sup_f \frac{N-2}{\Gamma(f)} (\mathrm{Hess}_w(\nabla f,\nabla f) - \Gamma(w,f)^2) \big]$ が有限かつ実数値である場合に、共形変換の下で保存される。