[論文レビュー] Conformally invariant operators, differential forms, cohomology and a generalisation of Q-curvature

Thomas Branson, A. Rod Gover|ArXiv.org|Sep 5, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、フェッファーマン＝グレゴリーのアンビエント計量を用いて、偶数次元の共形多様体上に、Q曲率を一般化し、臨界順序の共形ラプラシアンを拡張する高次元の共形不変作用素を導入することで、共形不変微分複体を構成する。主な貢献は、形式的自己随伴かつ因数分解可能な作用素$L_k$とそのゲージ同伴$G_k$を、幾何学的構成により得ることであり、これらは楕円的強制的系を形成し、微分形式の調和関数の有限次元共形安定部分空間を定義する。

ABSTRACT

On conformal manifolds of even dimension $n\geq 4$ we construct a family of new conformally invariant differential complexes. Each bundle in each of these complexes appears either in the de Rham complex or in its dual. Each of the new complexes is elliptic if the signature is Riemannian. We also construct gauge companion operators which complete the exterior derivative to a conformally invariant and (in the case of Riemannian signature) elliptically coercive system. These (operator,gauge) pairs are used to define finite dimensional conformally stable form subspaces which are are candidates for spaces of conformal harmonics. These constructions are based on a family of operators on closed forms which generalise in a natural way the Q-curvature. We give a universal construction of these new operators and show that they yield new conformally invariant global pairings between differential form bundles. Finally we give a geometric construction of a family of conformally invariant differential operators between density-valued differential form bundles and develop their properties (including their ellipticity type in the case of definite conformal signature). The construction is based on the ambient metric of Fefferman and Graham, and its relationship to tractor bundles. For each form order, our derivation yields an operator of every even order in odd dimensions, and even order operators up to order $n$ in even dimension $n$. In the case of unweighted forms as domain, these operators are the natural form analogues of the critical order conformal Laplacian of Graham et al., and are key ingredients in the new differential complexes mentioned above.

研究の動機と目的

• 偶数次元の共形多様体上に、1より大きい次数の余境界作用素を有する新しい共形不変微分複体を構成すること。
• フェッファーマン＝グレゴリーのアンビエント計量に基づく普遍的な幾何的構成を用いて、微分形式へのブラウンのQ曲率を一般化すること。
• 共形不変かつ楕円的強制的な作用素-ゲージペアを用いて、微分形式の有限次元共形安定部分空間（共形調和関数の候補）を定義すること。
• 臨界順序の共形ラプラシアンを、奇数次元におけるすべての偶数次までの形式値作用素および偶数次元$n$における次数$n$までの作用素に拡張すること。
• トレクター bundle とアンビエント計量、および形式 bundle 間の共形不変グローバルペアリングの幾何的関係を確立すること。

提案手法

• フェッファーマンとグレゴリーのアンビエント計量を用いて、密度値微分形式間の共形不変微分作用素を構成する。
• 真の$k$-形式上での作用素$L_k$の族を導出し、主要部が$(\delta d)^{n/2-k}$であるようにし、$\delta M d$として因数分解可能とすることで、形式的自己随伴性と共形不変性を保証する。
• 次数$n-2k+1$のゲージ同伴作用素$G_k$を導入し、主要部が$\delta(d\delta)^{n/2-k}$であるようにし、リーマン型符号において共形不変かつ楕円的強制的系$(L_k, G_k)$を形成する。
• トレクター bundle と同次的アンビエント形式の間の対応関係を確立し、作用素の幾何的実現とその共形変換法則の理解を可能にする。
• 外微分計算の恒等式と$\log\tilde{\sigma}$の同次性を用いて、一般化されたQ曲率作用素$Q_k^\sigma$のアンビエント表現を導出し、それらをアンビエントラプラシアンと縮約作用素に関連付ける。
• アンビエント表現の$Q_k^\sigma$がスカラーの場合に既知のQ曲率に還元され、$\tilde{\mathbb{Q}}^{\ell,\sigma}_k$を介して形式値作用素に一般化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元の共形多様体上に、1より大きい次数の余境界作用素を含む共形不変微分複体をどのように構成できるか。
• RQ2 臨界順序の共形ラプラシアンとQ曲率を一般化する微分形式上の共形不変作用素の幾何的構成は何か。
• RQ3 作用素系$(L_k, G_k)$が共形不変かつ楕円的強制的となるように、ゲージ同伴作用素をどのように定義できるか。
• RQ4 アンビエント計量、トレクター bundle、および共形不変形式作用素の構成との関係は何か。
• RQ5 一般化されたQ曲率作用素$Q_k^\sigma$は、古典的Q曲率をどのように拡張し、アンビエント微分作用素と関係するか。

主な発見

• 本稿は、次元$n \geq 4$の偶数次元共形多様体上に、1より大きい次数の余境界作用素を含む新しい共形不変微分複体の族を構成する。
• 真の$k$-形式上の作用素$L_k$は、形式的自己随伴的かつ$\delta M d$として因数分解可能であり、主要部が$(\delta d)^{n/2-k}$である。これはマクスウェル作用素を一般化する。
• リーマン型符号において、複体は楕円的であり、作用素$L_k$は非楕円的だが正定値半定値であるため、強制性を達成するためにゲージ同伴が必要である。
• 次数$n-2k+1$のゲージ同伴作用素$G_k$は、共形不変かつ楕円的強制的系$(L_k, G_k)$を形成するように構成され、形式調和関数の有限次元共形安定部分空間の定義を可能にする。
• アンビエント計量の構成により、密度値形式上の共形不変作用素の普遍的族が得られ、$L_k$は臨界順序の共形ラプラシアンの自然な形式アナロジーである。
• 一般化されたQ曲率作用素$Q_k^\sigma$はアンビエント幾何を用いて導出され、スカラーの場合に古典的Q曲率に還元され、そのアンビエント表現には$\mbox{\boldmath{$\Delta$}}/^{\ell}$と$\log\tilde{\sigma}$が関与する。