[論文レビュー] Congruence properties for the trinomial coefficients

Moa Apagodu, Ji-Cai Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、素数のべきを法とする三項係数に関する新しい合同法則を確立し、Wolstenholmeの定理のような古典的結果を拡張する。組合せ的恒等式と整数論的合同式を用いて、任意の素数 $p \geq 5$ に対して $\binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p^2}$ を証明し、単一および二重和に関する関連する合同式を導出し、リーマン記号やカタラン型和への接続も示す。

ABSTRACT

In this paper, we state and prove some congruence properties for the trinomial coeficients, one of which is similar to the Wolstenholme's theorem.

研究の動機と目的

• Wolstenholmeの定理のような古典的合同式を三項係数へ拡張すること。
• 素数のべきを法とする三項係数の和の性質を調査すること。
• 既知の二項係数和の合同式（例：Sun-Tauraso）の三項係数版を確立すること。
• 中心三項係数の合同式に対する $q$-アナログの予想を提示すること。
• 三項係数、リーマン記号、素数を法とする組合せ的恒等式との関係を調査すること。

提案手法

• 三項係数の中心値 $\binom{2p}{p}$ に対する組合せ的恒等式を、展開式 $ (1+x+x^{-1})^n = \sum_{j=-n}^n \binom{n}{j} x^j $ を用いて導出する。
• $p^2$ を法とする整数論的合同式の技法を用いて、二項係数および三項係数の和を分析する。
• $\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{1}{k} \binom{2k}{k} \equiv 0 \pmod{p}$ などの既知の合同式を用いて、高次和を簡略化する。
• 母関数の恒等式と $\sum_{k=m}^n \binom{k}{m} = \binom{n+1}{m+1}$ の恒等式を用いて二重和を評価する。
• 二項係数が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上で示す対称性および周期性の性質を応用して、和を $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上で簡約する。
• 数値的証拠に基づき、$q$-整数 $[p]_q = (1-q^p)/(1-q)$ を用いた $q$-アナログの予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三項係数に対して、Wolstenholmeの定理と類似する合同式が $p^3$ を法として成り立つかどうか。
• RQ2 三項係数の単一および二重和が、$p^2$ を法として $3^p$ およびリーマン記号で表現可能かどうか。
• RQ3 $0 < j < p$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{j}$ の $p$ を法とした性質は何か。
• RQ4 $\sum_{m=0}^{p-1} \sum_{n=0}^{p-1} \binom{m}{n}$ の和が $p$ を法としてどのように振る舞うか。
• RQ5 $\binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p^2}$ の $q$-アナログは存在するか？もし存在するならば、どのような形をとるか。

主な発見

• 任意の素数 $p \geq 5$ に対して、中心三項係数は $\binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p^2}$ を満たす。これはWolstenholmeの定理の直接的な類似である。
• $\sum_{j=0}^{p} \binom{p}{j} \equiv \frac{1}{2}(1 + 3^p) \pmod{p^2}$ であり、三項係数の和が $3$ のべきと関係している。
• $\sum_{j=0}^{p-1} \binom{p-1}{j} \equiv \frac{1}{2}\left(1 + \left(\frac{p}{3}\right)\right) \pmod{p}$ であり、ここで $\left(\frac{\cdot}{p}\right)$ はリーマン記号を表す。
• $0 < j < p$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{k}{j} \equiv \frac{(-1)^j + 1}{2} \cdot (-1)^{(p-j-1)/2} \pmod{p}$ であり、$j$ の偶奇に依存する。
• $\sum_{m=0}^{p-1} \sum_{n=0}^{p-1} \binom{m}{n} \equiv \frac{1}{2}\left((-1)^{(p-1)/2} + 1\right) \pmod{p}$ であり、これは $p \equiv 1 \pmod{4}$ のとき $1$、$p \equiv 3 \pmod{4}$ のとき $0$ に等しい。
• 中心三項係数の合同式に対する $q$-アナログの予想が提示される：$\left(\binom{2p}{p}\right)_q \equiv 2\left\lfloor\frac{p+3}{6}\right\rfloor + p \right)(q^p - 1) + 2 \pmod{[p]_q^2}$ であり、$q \to 1$ の極限で古典的結果に還元される。