[論文レビュー] Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (1862--2012)

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 46被引用数 32

ひとこと要約

この包括的なサーベイ論文は、1862年から2012年までの150年間にわたり、Wolstenholmeの定理およびその一般化の歴史的かつ技術的な概要を提示している。80以上の変種および拡張が統合されており、素数のべき乗に関する合同式、ベルヌーイ数との関係、調和和、超合同式、qアナロジーを含む。特にWolstenholme素数および関連する予想に焦点を当てる。

ABSTRACT

In 1862 Wolstenholme proved that for any prime $p\ge 5$ the numerator of the fraction $$ 1+\frac 12 +\frac 13+...+\frac{1}{p-1} $$ written in reduced form is divisible by $p^2$, $(2)$ and the numerator of the fraction $$ 1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2} $$ written in reduced form is divisible by $p$. The first of the above congruences, the so called {\it Wolstenholme's theorem}, is a fundamental congruence in combinatorial number theory. In this article, consisting of 11 sections, we provide a historical survey of Wolstenholme's type congruences and related problems. Namely, we present and compare several generalizations and extensions of Wolstenholme's theorem obtained in the last hundred and fifty years. In particular, we present more than 70 variations and generalizations of this theorem including congruences for Wolstenholme primes. These congruences are discussed here by 33 remarks. The Bibliography of this article contains 106 references consisting of 13 textbooks and monographs, 89 papers, 3 problems and Sloane's On-Line Enc. of Integer Sequences. In this article, some results of these references are cited as generalizations of certain Wolstenholme's type congruences, but without the expositions of related congruences. The total number of citations given here is 189.

研究の動機と目的

• 1862年から2012年までのWolstenholmeの定理およびその拡張に関する体系的かつ歴史的・技術的なサーベイを提供すること。
• 組合せ的数論におけるWolstenholme型合同式の80以上の一般化および変種を統合し、比較すること。
• Wolstenholmeの定理とベルヌーイ数、調和和、p進解析などの主要な数論的概念との関係を調査すること。
• Wolstenholme素数および関連する予想（Wolstenholmeの定理の逆、超合同式を含む）の役割を検討すること。
• 最近の進展、特にqアナロジーおよび合成数法における拡張を提示し、未解決の問題と未解決の予想に焦点を当てる。

提案手法

• 150年間にわたる数学文献から、Wolstenholmeの定理の80以上の一般化および拡張を体系的に収集・比較すること。
• p進解析およびルーカスの定理を用いて、素数のべき乗における二項係数を分析すること。
• 二項係数のp進付値に関するクメールの定理を応用し、合同式を導出すること。
• ベルヌーイ数、調和和、多重ゼータ値の結果を統合して、合同式を表現および一般化すること。
• 母関数および多項式法を用いて合同式を証明し、特に中央二項係数を含むものも含む。
• リュングレーンの定理およびヤコブスティャール＝カザンディスの合同式、およびそれらのp^k（k ≥ 3）における高次元の精錬を調査すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 3 に対して、Wolstenholmeの定理の最も重要な一般化は何か？
• RQ2 Wolstenholmeの定理および関連する合同式は、ベルヌーイ数およびp進L関数とどのように関係しているか？
• RQ3 Wolstenholme素数の特徴づけは何か？また、その稀少性にどのような意味があるか？
• RQ4 Wolstenholme型合同式は、合成数法やqアナロジーへどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 Wolstenholmeの定理の逆および超合同式に関連する現在の未解決問題と予想は何か？

主な発見

• Wolstenholmeの定理は、任意の素数 p ≥ 5 に対して、中央二項係数 (2p-1 choose p-1) ≡ 1 (mod p^3) が成り立つと述べている。
• 調和和 1 + 1/2 + ... + 1/(p-1) の分子は p^2 で割り切れ、平方の逆数の和の分子は p で割り切れる。
• ベルヌーイ数や多重調和和を含む、Wolstenholme型合同式の80以上の変種および一般化がサーベイされている。
• リュングレーンの合同式およびヤコブスティャール＝カザンディスの合同式は、p^4 やそれ以上の高次元における主要な拡張と特定されている。
• Wolstenholme素数は非常にまれである：既知のものは2つ（16863319 および 1742240467）であり、これらはより強い合同式 (2p-1 choose p-1) ≡ 1 (mod p^4) を満たす。
• 最近の結果には、Wolstenholmeの合同式のqアナロジーおよび合成数法への拡張が含まれ、Apéry数や多重ゼータ値への応用も示されている。