[論文レビュー] Congruence RFRS towers

Ian Agol, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実または複素の双曲的格子が、すべてが合同部分群からなるRFRS（有限余因子有理可解）塔を許容するための基準を確立する。この基準を用いて、d ≢ −1 mod 8 かつ平方因子自由なdについて、特定のBianchi群PSL₂(𝒪𝒹)が合同部分群上のほぼファイバー構造をもつことを証明し、PU(2,1)におけるDeligne–Mostow格子の合同部分群を用いて、表面群とアーベル群の積の部分群でない最初のRFRSケーラー群の例を構成する。

ABSTRACT

We describe a criterion for a real or complex hyperbolic lattice to admit a RFRS tower that consists entirely of congruence subgroups. We use this to show that certain Bianchi groups $\mathrm{PSL}(\mathcal{O}_d)$ are virtually fibered on congruence subgroups, and also exhibit the first examples of RFRS Kähler groups that are not a subgroup of a product of surface groups and abelian groups.

研究の動機と目的

• 双曲的格子が、すべてが合同部分群からなるRFRS塔を許容するための基準を構築すること。
• d ≢ −1 mod 8 かつ平方因子自由なdについて、特定のBianchi群PSL₂(𝒪𝒹)が合同被覆上ほぼファイバー構造をもつことを確立すること。
• 表面群とアーベル群の積の部分群でない最初のRFRSケーラー群の例を構成すること。
• SO(n,1)およびSU(n,1)における算術的格子の合同部分群に対して、RFRS塔構成法を数体およびp進Bruhat–Tits建物の文脈で拡張すること。

提案手法

• Bianchi群がO(4,1;ℤ)にほぼ埋め込めるという事実を活用し、この直交群における合同部分群を用いてRFRS塔を構成する。
• 格子の可換子群と𝔭進Bruhat–Tits建物の構造を用いた一般化された構成法を適用し、群の元gₙを帰納的に定義し、共役の共通部分群がRFRS塔を形成することを保証する。
• g₁を適切に選ぶことで、商Γ / (Γ ∩ g₁Γg₁⁻¹) が初等アーベルp群であることを保証する。これは、H¹(Γ;ℤ)にp-torsionがないことに依存する。
• Magmaで実装されたReidemeister–Schreierアルゴリズムを用いて、Bianchi群における主合同部分群Γ(𝔭)の表示とアーベル化を計算する。
• 明示的な群表示と素イデアル𝔭を法とする還元を用いて、H¹(Γ(𝔭);ℤ)のねじれとランクを解析する。
• Deligne–Mostow格子PU(2,1)の合同部分群としてRFRSケーラー群を構成し、それが表面群とアーベル群の積の部分群でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実または複素の双曲的格子が、すべてが合同部分群からなるRFRS塔を許容する条件は何か？
• RQ2 d ≢ −1 mod 8 かつ平方因子自由なdについて、Bianchi群PSL₂(𝒪𝒹)は合同部分群上ほぼファイバー構造をもつか？
• RQ3 表面群とアーベル群の積の部分群でないRFRSケーラー群を構成できるか？
• RQ4 p進Bruhat–Tits建物を用いて、SO(n,1)およびSU(n,1)における算術的格子の合同部分群に対して、RFRS塔構成法を体系的に適用する方法は何か？
• RQ5 第一ホモロジー群のp-torsion-free条件が、RFRS塔の帰納的構成を可能にする役割は何か？

主な発見

• d ≢ −1 mod 8 かつ平方因子自由なdについて、Bianchi群PSL₂(𝒪𝒹)は、すべてが合同部分群からなるRFRS塔を許容し、これは合同被覆上ほぼファイバー構造をもつことを示唆する。
• K = ℚ(√−1)について、ノルム49の主合同部分群Γ(𝔭)は、H¹(Γ(𝔭);ℤ)においてランク825、ねじれサイズ7⁶をもつ。これは非自明なホモロジー構造を確認する。
• K = ℚ(√−2)について、ノルム67の合同部分群は、ねじれサイズ2²⁰⁰·3¹³⁵·239⁶⁶·271⁶⁶·647⁶⁶·727⁶⁸·38011⁶⁶·47917⁶⁸をもつ。これはホモロジーにおける大きなねじれを示している。
• K = ℚ(√−11)について、ノルム59の合同部分群は、ねじれサイズ2³⁴⁸·3⁴⁰⁸·5⁵⁸·7¹¹⁶·11⁵⁸·17¹²⁰·19⁵⁸·31⁵⁸·59⁵⁸·199⁵⁸·233⁶⁰·5279⁶⁰·20341⁵⁸をもつ。これはホモロジーにおける広範なねじれを示している。
• 表面群とアーベル群の積の部分群でない最初のRFRSケーラー群は、PU(2,1)におけるDeligne–Mostow格子の合同部分群として実現された。
• RFRS塔の構成は、H¹(Γ;ℤ)にp-torsionがないことに依存し、𝔭進Bruhat–Tits建物を用いた帰納的な群の元の選択により、塔がRFRSであることが保証される。