[論文レビュー] On virtual properties of K\"ahler groups

Stefan Friedl, Stefano Vidussi|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、バーチャル・アレクサンダーサービス次元が1であるケーラー群を調査し、それらがバーチャルに代数的ファイブレーションを持ち、曲面群と強い構造的類似性を示すことを示している。彼らの高次BNSR不変量とグリーン＝ラザルフェルド集合が、曲面群のそれとバーチャルに一致することを確立し、このクラスにおいて、唯一のバーチャルに再帰的に有限Q可解な群は曲面群であることを特定している。

ABSTRACT

This paper stems from the observation (arising from work of T. Delzant) that K\ahler groups virtually algebraically fiber, i.e. admit a finite index subgroup that maps onto $\Bbb{Z}$ with finitely generated kernel. For the remaining ones, the Albanese dimension of all finite index subgroups is at most one, i.e. they have virtual Albanese dimension one. We show that the existence of (virtual) algebraic fibrations has implications in the study of coherence and of higher BNSR invariants of the fundamental group of aspherical K\ahler surfaces. The class of K\ahler groups of virtual Albanese dimension one contains groups commensurable to surface groups. It is not hard to give further (albeit unsophisticated) examples; however, groups of this class exhibit strong similarities with surface groups. In fact, we show that its only virtually residually finite $\Bbb{Q}$-solvable (vRFRS) elements are commensurable to surface groups, and we show that their Green-Lazarsfeld sets (virtually) coincide with those of surface groups.

研究の動機と目的

• アービトラリの代数的ファイブレーションの性質を、アレクサンダーサービス次元が1以下のケーラー群について理解すること。
• アービトラリケーラー曲面の基本群の整合性および高次BNSR不変量を分析すること。
• バーチャル・アレクサンダーサービス次元が1であるケーラー群のクラスを特定し、特にvRFRS要素とグリーン＝ラザルフェルド集合に関して考察すること。
• このような群がバーチャルに曲面群と可換であるかどうかを特定すること。

提案手法

• ケーラー群がバーチャルに代数的ファイブレーションを持つというデルザントの観察を活用し、ℤに上への有限指数部分群が存在し、核が有限生成であるような群を研究する。
• バーチャル・アレクサンダーサービス次元を分析して、ケーラー群を次元が1であるものとそうでないものに分類する。
• 高次BNSR不変量の理論を用いて、これらの群の代数的および幾何的構造を調査する。
• バーチャルに再帰的に有限Q可解（vRFRS）な要素の概念を適用し、可能な群のクラスを制限する。
• これらの群のグリーン＝ラザルフェルド集合を曲面群のそれと比較し、構造的類似性を検出する。
• バーチャル性質と可換性を用いて、不変量および群構造の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーチャル・アレクサンダーサービス次元が1のケーラー群は、バーチャルに代数的ファイブレーションを持つのか？
• RQ2 このような群の高次BNSR不変量は、曲面群のそれとどのように比較できるか？
• RQ3 どのケーラー群がバーチャルに再帰的に有限Q可解であり、どのような構造を持つのか？
• RQ4 これらの群のグリーン＝ラザルフェルド集合は、どの程度曲面群のそれと一致するか？
• RQ5 すべてのバーチャル・アレクサンダーサービス次元が1のケーラー群は、バーチャルに曲面群と可換か？

主な発見

• バーチャル・アレクサンダーサービス次元が1のケーラー群は、バーチャルに代数的ファイブレーションを持つ。つまり、ℤに上への写像を持つ有限指数部分群が存在し、その核は有限生成である。
• これらの群の高次BNSR不変量は、バーチャルに曲面群のそれと一致する。
• このクラスにおいて、唯一のバーチャルに再帰的に有限Q可解な要素は、曲面群と可換な群である。
• これらの群のグリーン＝ラザルフェルド集合は、バーチャルに曲面群のそれと一致する。
• これらの群は、特にバーチャル不変量および残渣的性質において、曲面群と強い構造的類似性を示す。