[論文レビュー] Congruences between Heegner points and quadratic twists of elliptic curves

Daniel Kriz, Chao Li|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、モジュラー $p$-進ガロア表現が同型である楕円曲線上のヘーゲナー点の $p$-進対数の間の合同式を確立し、解析的階数 0 または 1 の二次歪曲を構成可能にする。2-進対数条件を満たす広範な楕円曲線のクラスに対して、$N_r(E,X) \gg X / \log^{5/6}X$ ($r=0,1$) を示し、従来の境界を著しく改善するとともに、多くのこのような歪曲に対して 2-部の Birch and Swinnerton-Dyer 猜想を検証する。

ABSTRACT

We establish a congruence formula between $p$-adic logarithms of Heegner points for two elliptic curves with the same mod $p$ Galois representation. As a first application, we use the congruence formula when $p=2$ to explicitly construct many quadratic twists of analytic rank zero (resp. one) for a wide class of elliptic curves $E$. We show that the number of twists of $E$ up to twisting discriminant $X$ of analytic rank zero (resp. one) is $\gg X/\log^{5/6}X$, improving the current best general bound towards Goldfeld's conjecture due to Ono--Skinner (resp. Perelli--Pomykala). We also prove the 2-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for many rank zero and rank one twists of $E$, which was only recently established for specific CM elliptic curves $E$.

研究の動機と目的

• モジュラー $p$-進ガロア表現が同型である楕円曲線上のヘーゲナー点の $p$-進対数の間の合同式を確立すること。
• この合同式を用いて、解析的階数 0 または 1 の楕円曲線の二次歪曲を構成し、Goldfeld の予想への境界を改善すること。
• 広範なクラスの楕円曲線の階数 0 および階数 1 の歪曲に対して、Birch and Swinnerton-Dyer 猜想の 2-部を証明すること。
• CM 曲線に限られていた従来の結果を拡張し、非 CM 楕円曲線に適用可能な一般枠組みを提供すること。

提案手法

• モジュラー $p$-進ガロア表現が同型である2つの楕円曲線上のヘーゲナー点の $p$-進対数の間の合同式を導出し、$p=2$ を重要なケースとして扱う。
• 合同式を用いて、二次歪曲の特別な $L$-値と $p$-進 $L$-関数を関連づけ、歪曲が 2-進ガロア表現を保存することを活用する。
• 合同式を用いて、ヘーゲナー点の 2-進対数が 2 を法として 0 でない条件を満たすようにすることで、解析的階数 0 または 1 の二次歪曲を構成する。
• $p$-進 BSD 猜想と Gross–Zagier 定理の $p$-逆定理を用いて、構成された歪曲の 2-部 BSD 猜想を導出する。
• ヘーゲナー点の構成とアンチシクロトミック $p$-進 $L$-関数を用いて、二次歪曲の $L$-値が $p$ を法として 0 でないかを分析する。
• 具体的に 2-進対数を計算し、2 を法として還元することで、鍵となる条件 (\bigstar) を検証する。特に、小さい判別式や $E=11a1$ のような特定の曲線に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー $p$-進ガロア表現が同型である楕円曲線のヘーゲナー点の $p$-進対数の間で、合同式を確立できるか？
• RQ2 このような合同式が、正の密度において解析的階数 0 または 1 の二次歪曲を構成可能か？
• RQ3 非 CM 楕円曲線の階数 0 および階数 1 の歪曲に対して、Birch and Swinnerton-Dyer 猜想の 2-部を検証できるか？
• RQ4 やや弱い算術的条件のもとで、解析的階数 0 または 1 の二次歪曲の数の最良の下界は何か？

主な発見

• $E/\mathbb{Q}$ が $E(\mathbb{Q})[2]=0$ を満たし、条件 (\bigstar) を満たす場合、$X$ 以下の導手を持つ階数 0 または 1 の二次歪曲の数は $\gg X / \log^{5/6}X$ である。ただし $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(E[2]) / \mathbb{Q}) \cong S_3$ のとき。
• $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(E[2]) / \mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ のとき、階数 0 または 1 の歪曲の数の境界は $\gg X / \log^{2/3}X$ に改善される。
• 多くの階数 0 および階数 1 の二次歪曲に対して、Birch and Swinnerton-Dyer 猜想の 2-部が検証され、従来の CM 曲線に限られた結果を拡張する。
• 明示的な例として、$E=11a1$ では、$\leq 750$ の導手かつ $d_K = -7$ を満たす階数 0 の曲線 39 つ中 28 つで条件 (\bigstar) が成立し、境界と BSD の検証が可能である。
• 本手法は広く適用可能である：$E$ が (\bigstar) を満たさない場合でも、$E$ の二次歪曲 $E^*$ がそれを満たす可能性があり、したがって境界が正の割合の楕円曲線に対して成り立つと示唆される。
• アンチシクロトミック $p$-進 $L$-関数が $p=2$ の自明な特徴に modulo $p$ で 0 でないことは、数論的条件下での鍵となる条件であり、本稿ではヘーゲナー点の計算によりそれが確認可能であることを示している。