[論文レビュー] A majority of elliptic curves over $\mathbb Q$ satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

Manjul Bhargava, Christopher Skinner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の少なくとも66.48％が、p-セレマー群の平均と根数の分布を分析することにより、BirchとSwinnerton-Dyerのランク予想を満たしていることを証明している。p-進条件と解析的ランク0または1の曲線の密度推定値を用いて、多数の曲線が有限なTate–Shafarevich群を持ち、代数的ランクと解析的ランクが一致することを確立している。

ABSTRACT

We prove that a majority (in fact, $>66\%$) of all elliptic curves over $\mathbb Q$, when ordered by height, satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer rank conjecture.

研究の動機と目的

• ℚ上の楕円曲線のうち、BirchとSwinnerton-Dyerのランク予想を満たすものの割合に正の下界を確立すること。
• 多数の楕円曲線が有限なTate–Shafarevich群を持つことを証明すること。
• 代数的ランクと解析的ランクが0および1である曲線の割合に対する定量的下界を導出すること。
• 高さ順序付けの下でのℚ上の楕円曲線の平均ランクをよりよく理解すること。
• ℚ上でp-セレマー群の平均サイズがすべての素数pに対してp+1であることを示し、その結果を明らかにすること。

提案手法

• Dokchitser–Dokchitser、Gross–Zagier、Kolyvaginの研究から導かれるp-進条件を用いて、楕円曲線が代数的ランクと解析的ランク0または1をとる条件を特定する。
• 合同条件で定義される大規模な楕円曲線の族において、p=3およびp=5の平均p-セレマー群のサイズに関する結果を適用する。
• 特定のp-進条件および合同条件を満たす曲線の自然密度を推定し、密度が80％に近づくことを示す。
• 密度推定値と、密度が少なくとも55％の部分族における根数（±1）の等分布性を組み合わせ、セレマー群の偶奇性を制御する。
• 複数の族における組み合わせ最適化を用いて、ランク0または1である曲線の割合の上限を求める。これは、セレマー群の偶奇性に関する定理25を活用する。
• 根数±1がDokchitser–Dokchitserの定理によりp-セレマー群の偶奇性に対応することを用いて、解析的ランクと代数的ランクを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線のうち、どの程度の割合がBirchとSwinnerton-Dyerのランク予想を満たすか？
• RQ2 代数的ランクと解析的ランクがともに0である楕円曲線の割合の下界は何か？
• RQ3 代数的ランクと解析的ランクがともに1である楕円曲線の割合の下界は何か？
• RQ4 ℚ上でp-セレマー群の平均サイズがすべての素数pに対してp+1であることを示せるか？その結果は何か？
• RQ5 大規模な楕円曲線族における根数の分布は、ランク0または1である曲線の密度にどのように影響するか？

主な発見

• 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の少なくとも66.48％が、BirchとSwinnerton-Dyerのランク予想を満たしている。
• 少なくとも16.50％の楕円曲線が、代数的ランクと解析的ランクの両方が0である。
• 少なくとも20.68％の楕円曲線が、代数的ランクと解析的ランクの両方が1である。
• 高さで順序付けられたℚ上の楕円曲線の平均（代数的または解析的）ランクは、少なくとも0.2068である。
• Tate–Shafarevich群が有限である曲線の割合は、少なくとも66.48％である。
• ℚ上でp-セレマー群の平均サイズがすべての素数pに対してp+1であるならば、BirchとSwinnerton-Dyer予想はℚ上の楕円曲線の100％に対して成り立つ。