[論文レビュー] Congruences concerning Legendre polynomials

Zhi‐zhong Sun|Dec 17, 2010

Advanced Mathematical Identities被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、$p^2$ を法とするルジャンドル多項式に関連する新しい超合同式を確立し、特定の形の和 $\textstyle\binom{2k}{k}^2 / 16^k$ が、$p \bmod 4$ や $p$ が二乗数の和として表されるかによって、0 に消えたり、特定の値をとったりすることを証明する。これらの結果は、ルジャンドル多項式の展開と合同算術を用いて得られ、ロドリゲス＝ヴィレガスとスンによるアピリ級数および二次形式に関する予想を確認・拡張するものである。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. In the paper, by using the properties of Legendre polynomials we prove some congruences for $\sum_{k=0}^{\frac{p-1}2}\binom{2k}k^2m^{-k}\mod {p^2}$. In particular, we confirm several conjectures of Z.W. Sun. We also pose 13 conjectures on supercongruences.

研究の動機と目的

• 中心二項係数を含む和の $p^2$ を法とする新しい超合同式を、ルジャンドル多項式の展開を用いて確立すること。
• ロドリゲス＝ヴィレガスおよび呉志偉による、$\textstyle\binom{2k}{k}^2 / 16^k$ および $\textstyle\binom{2k}{k}^2 / 32^k$ が $p^2$ を法として示す挙動に関する予想を証明し、拡張すること。
• これらの和を、素数を二乗数の和として表す方法および二次形式に関連付けること。
• ルジャンドル多項式を用いた統一的枠組みを提供し、既存の超合同式結果を導出し、一般化すること。
• $(4k)!/k!^4$ および $(6k)!/k!^3(3k)!$ 項を含む高次の超合同式に関する新しい予想を提起し、動機づけすること。

提案手法

• ルジャンドル多項式 $P_n(x)$ の母関数およびロドリゲスの公式を用い、$\binom{n+k}{2k}\binom{2k}{k}((x-1)/2)^k$ を含む級数展開を導出する。
• 合同式 $\binom{(p-1)/2 + k}{2k} \equiv \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \left(1 - p^2 \sum_{i=1}^k \frac{1}{(2i-1)^2}\right) \pmod{p^4}$ を適用し、ルジャンドル多項式の係数を $p^2$ を法として簡約する。
• 対称性 $P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)$ を活用し、$p^2$ を法として和が消える関係式を導出する。
• 特定の $x$ の値（例：$x=1$、$x=1/2$）を主な合同式に代入し、既知および新しい超合同式を回復する。
• 生成関数 $A((p-1)/2)$ とモジュラー形式との関係を用い、和 $\textstyle\sum \binom{2k}{k}^4 / 4^{4k}$ を $a(p) \bmod p^2$ に関連付ける。
• $p$-進性の挙動および二次形式における素数の表現に関するパターンを観察し、新しい予想を提起する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $p$ に対して、$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}{k}^2 / 16^k \pmod{p^2}$ の挙動は何か？
• RQ2 和 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}{k}^2 / 32^k \pmod{p^2}$ は、$p$ が二乗数の和として表される方法とどのように関係するか？
• RQ3 ルジャンドル多項式を $p^2$ を法として用いることで、アピリ級数のための新しい超合同式を導出可能か？
• RQ4 $m = 8, -16, 32, 54, 648, \dots$ に対して、$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^2 / m^k \pmod{p^2}$ のモジュラーパターンは何か？
• RQ5 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{(4k)!}{m^k k!^4} \equiv 0 \pmod{p^2}$ または $\equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$ となるような $p$ の条件は何か？

主な発見

• 任意の有理数 $p$-整数 $x$ に対して、$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2}{16^k} \left(x^k - (-1)^{(p-1)/2}(1-x)^k \right) \equiv 0 \pmod{p^2}$ が成り立ち、ロドリゲス＝ヴィレガスの予想を一般化する。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}^2}{32^k} \equiv 0 \pmod{p^2}$ であるが、$p \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、$p = a^2 + b^2$ かつ $a \equiv 1 \pmod{4}$ ならば、$2a - p/(2a) \pmod{p^2}$ に等しい。
• $x \not\equiv 0 \pmod{p}$ のとき、$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}^2}{16^k} \left(x^k - \left(\frac{x}{p}\right) x^{-k} \right) \equiv 0 \pmod{p}$ が成り立ち、ルジャンドル記号の性質に関連する。
• アピリ数 $A((p-1)/2) \equiv \sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}^4}{4^{4k}} \pmod{p^2}$ が成り立ち、$a(p)$ を通じてモジュラー形式と関連づけられる。
• 予想 $\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}^3}{4^{3k}} \equiv b(p) \pmod{p^2}$ が確認され、$b(n)$ はレベル 4 のモジュラー形式から生じる。
• 新しい予想が $\sum \frac{(4k)!}{m^k k!^4} \pmod{p^2}$ および $\sum \frac{(6k)!}{m^k (3k)! k!^3} \pmod{p^2}$ に対して提起され、$p$ が特定の二次形式で分解可能かどうか、またはルジャンドル記号の条件を満たすかどうかに応じて、結果が異なる。