[論文レビュー] Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients

Roberto Tauraso|ArXiv.org|Jun 28, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、素数 $ p $ のべき乗を法とする、中央二項係数の逆数の和に関する新しい合同式を確立し、それらを多重調和和およびベルヌーイ数と関連付ける。$ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} \equiv -\frac{2}{5} \frac{H(1)}{p^2} \pmod{p^3} $ および $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} \equiv \frac{1}{3} \frac{H(1)}{p} \pmod{p^3} $ を証明する。ここで $ H(1) = \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} $ であり、アペリーの $ \zeta(3) $ および $ \zeta(2) $ に関する研究を拡張する。

ABSTRACT

We present several congruences modulo a power of prime $p$ concerning sums of the following type $\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$ which reveal some interesting connections with the analogous infinite series.

研究の動機と目的

• 素数 $ p > 5 $ に対して、$ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{m^k}{k^r} \binom{2k}{k}^{-1} $ の形の和が $ p^3 $ またはそれ以上のべきを法としてどのような合同式を満たすかを確立すること。
• アペリーの $ \zeta(2) $ および $ \zeta(3) $ に関する恒等式を、素数のべきを法とする有限版に拡張すること。
• 有限和としての中央二項係数の逆数の和を、多重調和和およびベルヌーイ数と関連付けること。
• 中央二項係数の逆数を含む和と中央二項係数自体を含む和の間の双対性関係を、調和和の恒等式を用いて体系的に明らかにすること。

提案手法

• 調和和 $ H(r) = \sum_{k=1}^{p-1} k^{-r} $ を $ p^5 $ を法としてベルヌーイ数を用いて表現するために、オイラーの定理とフォールハーバーの公式を用いる。
• 補題 2.2 を応用して、二項係数 $ \binom{n}{k} $ および $ \binom{n+k-1}{k} $ を多重調和和の級数として展開する。
• 特に $ H(1) \equiv -\frac{1}{2}p H(2) \pmod{p^4} $ であるような、多重調和和 $ H(a_1,\dots,a_r) $ に対する既知の合同式（$ p^3 $ または $ p^4 $ を法として）を適用する。
• ヘラネスおよびスターバーの恒等式を用いて、逆数二項係数の和を調和和と関連づけ、重要な合同式を導出する。
• 恒等式 $ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} = -\frac{2}{3} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^2} - \frac{(-1)^n}{3} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^2} \binom{n+k}{k}^{-1} \binom{n}{k}^{-1} $ を用いて、有限和を調和和の表現に還元する。
• 恒等式 $ \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} = -\frac{2}{5} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3} + \frac{1}{5} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{n+k}{k}^{-1} \binom{n}{k}^{-1} $ を用いて、立方和の $ p $-進展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $ p > 5 $ に対して、和 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} $ は $ p^3 $ を法としてどのように振る舞うか？
• RQ2 アペリーの恒等式 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} = -\frac{2}{5} \zeta(3) $ の $ p $-進的有限版は何か？
• RQ3 中央二項係数の逆数を含む和と中央二項係数自体を含む和の間の双対性は、調和和の恒等式によって体系的に説明可能か？
• RQ4 多重調和和 $ H(1,2) $、$ H(2,1) $、$ H(1,3) $ は、これらの逆数二項係数和の $ p $-進展開においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 和 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} $ および $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^2} \binom{2k}{k} $ の合同式は、ウォルステンホールムの定理およびベルヌーイ数とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の素数 $ p > 5 $ に対して、$ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^3} \binom{2k}{k}^{-1} \equiv -\frac{2}{5} \frac{H(1)}{p^2} \pmod{p^3} $ が成り立ち、ここで $ H(1) = \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} $ である。
• 和 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} \equiv \frac{1}{3} \frac{H(1)}{p} \pmod{p^3} $ が成り立ち、これは古典的恒等式 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \binom{2k}{k}^{-1} = \frac{1}{3} \zeta(2) $ の有限版を確認する。
• 双対和 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^k}{k^2} \binom{2k}{k} \equiv \frac{4}{5} \left( \frac{H(1)}{p} + 2p H(3) \right) \pmod{p^4} $ が成り立ち、ここで $ H(3) = \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^3} $ である。
• 和 $ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} \binom{2k}{k} \equiv -\frac{8}{3} H(1) \pmod{p^4} $ が成り立ち、既知の合同式を拡張し、逆数の場合との双対性を確認する。
• 合同式 $ H(1,2) \equiv -H(2,1) \equiv -3 \frac{H(1)}{p^2} \pmod{p^2} $ が確立され、$ p^2 $ を法とする多重調和和に関する以前の結果を精緻化する。
• 恒等式 $ \frac{1}{2} \binom{2p}{p} \equiv 1 + 2p H(1) + \frac{2}{3} p^3 H(3) \pmod{p^6} $ が調和和の恒等式およびベルヌーイ数の関係を用いて証明された。