[論文レビュー] New congruences for central binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun, Roberto Tauraso|arXiv (Cornell University)|May 5, 2008

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ひとこと要約

本稿は、中心二項係数 $\binom{2k}{k+d}$ について、素数のべきを法とした新しい合同式を確立し、再帰列 $u_n(x)$ と $v_n(x)$ を用い、ヤコビ記号、フェルマー商、およびフィボナッチ数やラウス数などの特別な数列と関連付ける。主な貢献は、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$ という一般化された合同式であり、Wolstenholme 型の結果をより高い素数のべきおよび有理数の重みへ拡張する。

ABSTRACT

Let p be a prime and let a be a positive integer. In this paper we determine $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$ and $\sum_{k=1}^{p-1}\binom{2k}{k+d}/(km^{k-1})$ modulo $p$ for all d=0,...,p^a, where m is any integer not divisible by p. For example, we show that if $p ot=2,5$ then $$\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}k=-5\frac{F_{p-(\frac p5)}}p (mod p),$$ where F_n is the n-th Fibonacci number and (-) is the Jacobi symbol. We also prove that if p>3 then $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}k={8/9} p^2B_{p-3} (mod p^3),$$ where B_n denotes the n-th Bernoulli number.

研究の動機と目的

• Wolstenholme の古典的合同式 $\binom{2p}{p} \equiv 1 \pmod{p^3}$ を、$a \geq 1$ に対して $p^a$ を法とした重み付き中心二項係数の和へ拡張すること。
• 線形再帰列 $u_n(x)$ と $v_n(x)$ を用いて、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \pmod{p}$ の明示的合同式を導出すること。
• これらの和をヤコビ記号、フェルマー商 $q_p(m)$、フィボナッチ数、ラウス数、ペル数などの特別な数列といった算術関数と結び付けること。
• さまざまなモジュラス条件および有理数の重み $m^{-k}$ の下で $\binom{2k}{k+d}$ を含む合同式を統一的な枠組みで提示すること。

提案手法

• 著者らは、2つの線形再帰列を定義する：$u_n(x)$ は $u_0=0$, $u_1=1$, $u_{n+1} = x u_n - u_{n-1}$ で定義され、フィボナッチ数列とラウス数列を一般化する。同様に $v_n(x)$ は $v_0=2$, $v_1=x$, $v_{n+1} = x v_n - v_{n-1}$ で定義される。
• 生成関数と二項係数の素数のべきを法とした性質を用いて、重み付き和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \pmod{p}$ の合同式を導出する。ここで $m \not\equiv 0 \pmod{p}$ である。
• 鍵となる恒等式は $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$ であり、これは和を再帰列 $u_n$ を $m-2$ で評価したものと結びつける。
• ハーモニック和とベルヌーイ数に関する既知の結果、特に $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} \equiv \frac{2}{3}p B_{p-3} \pmod{p^2}$ を用いて、高次の項を評価する。
• 恒等式 $\binom{2p^a - 1}{p^a - 1} \equiv 1 + p[p=2] + p^2[p=3] \pmod{p^3}$ を用いて、和をハーモニック数とベルヌーイ数を含む形に還元する。
• フェルマー商 $q_p(m) = \frac{m^{p-1} - 1}{p}$ を用い、$\frac{1}{k m^{k-1}}$ を含む和を $q_p(m)$ およびラウス数列 $V_n(x)$ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wolstenholme 型の合同式 $\binom{2p}{p}$ を、$a \geq 1$ に対して $p^a$ を法とした $\binom{2k}{k+d}$ の $m^{-k}$ による重み付き和へどのように拡張できるか？
• RQ2 和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d}$ と再帰列 $u_n(x)$、$v_n(x)$ の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 ヤコビ記号とレジャンドル記号は、これらの重み付き和の合同式においてどのように自然に現れるか？
• RQ4 和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k m^{k-1}} \binom{2k}{k}$ はフェルマー商 $q_p(m)$ で表現できるか？
• RQ5 ベルヌーイ数とハーモニック和は、合同式をより高いモジュラスへ持ち上げる際に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の素数 $p$、$a \geq 1$、$m \not\equiv 0 \pmod{p}$ に対して、和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k+d} \equiv u_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$ が成り立つ。ここで $u_n(x)$ は再帰 $u_{n+1} = x u_n - u_{n-1}$ で定義される。
• $d > 0$ のとき、和 $d \sum_{k=1}^{p^a-1} \frac{1}{k m^{k-1}} \binom{2k}{k+d} \equiv 2(-1)^d + v_{p^a - d}(m-2) \pmod{p}$ が成り立つ。ここで $v_n(x)$ は同伴再帰列である。
• $m=1$ のとき、和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k+d} \equiv \left(\frac{p^a - d}{3}\right) \pmod{p}$ が成り立ち、ヤコビ記号と結びつく。
• $m=2$ のとき、和 $\sum_{k=0}^{p^a-1} \frac{1}{2^k} \binom{2k}{k+d} \equiv 0 \pmod{p}$ が $p^a \equiv d \pmod{2}$ のとき成り立ち、そうでない場合は $\pm 1$ となり、4を法とした剰余に依存する。
• 和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k 2^{k-1}} \binom{2k}{k} \equiv 2q_p(2) \pmod{p}$ が成り立ち、フェルマー商 $q_p(2)$ と直接的な関係が示される。
• $p > 3$ のとき、和 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1 + 2p H_k}{k^2} \equiv \frac{8}{3} p B_{p-3} \pmod{p^2}$ が成り立ち、これは合同式をより高いモジュラスへ持ち上げる上で不可欠である。