[論文レビュー] Congruences of alternating multiple harmonic sums

Roberto Tauraso, Jianqiang Zhao|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2009

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ひとこと要約

本稿は、素数のべきを法とする交項多重調和和（AMHS）の合同性を体系的に調査し、多重調和和に関する先行研究を拡張している。オイラー多項式、ベルヌーイ数、フェルマー商を用いることで、深さ2、3、4のAMHSについて $p^2$ および $p^3$ を法とする明示的合同式が導かれる。これらは、標準的なスタッフルまたは反転恒等式からは得られない、$q_p = (2^{p-1}-1)/p$ および $B_{p-3}$ を含む新しい関係を明らかにする。主たる貢献は、素数の法の下でベルヌーイ数およびオイラー多項式の特別な値とAMHSを結びつける包括的な枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In this sequel to arXiv:0905.3327, we continue to study the congruence properties of the alternating version of multiple harmonic sums. As contrast to the study of multiple harmonic sums where Bernoulli numbers and Bernoulli polynomials play the key roles, in the alternating setting the Euler numbers and the Euler polynomials are also essential.

研究の動機と目的

• 交項多重調和和の合同性の研究を、オイラー多項式およびオイラー数が中心的役割を果たす設定に拡張すること。
• 素数 $p > |{\bf s}| + 2$ に対して、交項多重調和和 $H({\bf s}; p-1)$ について $p^2$ および $p^3$ を法とする体系的な合同式を確立すること。
• 標準的なスタッフルまたは反転関係から得られない、重み4のAMHSに関する新しい合同式を導出すること。
• フェルマー商の合同式に現れる和 $U({\bf s}; n)$ および $V({\bf s}; n)$ とAMHSを関連づけ、高次の合同性解析を可能にすること。
• 深さ3のAMHSについて $p^2$ を法とする明示的表現を提供し、$h_{31} = H(3,1;(p-1)/2)$ および $q_p$ を含む場合を含むこと。

提案手法

• ベルヌーイ数 $B_k$ およびオイラー多項式 $E_k(0)$ を用いた、$H(a, {\bf s})$ および $H(-a, {\bf s})$ の $p$ を法とする還元公式の使用。
• スタッフルおよび反転関係を用いて、異なる深さおよび重みの和を関連づけ、特に深さ2および3の場合に注目する。
• 包含と排除の原理を用いて、厳密な $H({\bf s}; n)$ と非厳密な $S({\bf s}; n)$ AMHS の関係 $S({\bf s}; n) = \sum_{{\bf r} \preceq {\bf s}} H({\bf r}; n)$ を確立する。
• 母関数および対称関数の恒等式を用いて、任意の深さにおける同次AMHSをべき和および分割関数で表現する。
• 高次の合同性（$p^2$ および $p^3$ を法とする）を扱うために、補助的和 $U({\bf s}; n)$ および $V({\bf s}; n)$ を導入する。
• 既知のフェルマー商 $q_p = (2^{p-1} - 1)/p$ およびベルヌーイ数 $B_{p-k}$ に関する合同式を活用し、重み4のAMHSに関する新しい恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $p > |{\bf s}| + 2$ に対して、交項多重調和和 $H({\bf s}; p-1)$ は $p^2$ および $p^3$ を法としてどのように振る舞うか？
• RQ2 標準的なスタッフルまたは反転関係から得られない、重み4のAMHSに現れる新しい合同式は何か？
• RQ3 オイラー多項式および数、ベルヌーイ数がAMHSの合同性の構造をどのように支配するか？
• RQ4 $H(1,1,-1; p-1)$ は $p^2$ を法として既知の和で表現可能か？また、$U(-3)$ および $A, B$ はどのような役割を果たすか？
• RQ5 深さ3および重み4のケースにおいて、$H({\bf s}; p-1)$ とフェルマー商 $q_p$ の間にはどのような相互作用があるか？

主な発見

• 重み4において、$H(1,-3) \equiv \frac{1}{2}H(-2,2) \equiv \sum_{k=0}^{p-3} 2^k B_k B_{p-3-k} \pmod{p}$ が成り立ち、これは標準的恒等式からは導けない関係である。
• $H(-1,3) \equiv -\frac{1}{2}q_p B_{p-3} \pmod{p}$ が成り立ち、AMHSがフェルマー商およびベルヌーイ数と関連していることを示す。
• 深さ3において、$H(-1,-2) \equiv \frac{9}{2}X - \frac{5}{6}p q_p B_{p-3} + \frac{1}{4}p h_{31} \pmod{p^2}$ が成り立ち、ここで $X = \frac{B_{p-k}}{p-k} - \frac{B_{2p-1-k}}{2(2p-1-k)}$ である。
• $H(-1,-1,-1) \equiv -\frac{4}{3}q_p^3 + X + p\left(2q_p^4 + \frac{2}{3}q_p B_{p-3}\right) \pmod{p^2}$ という合同式は、$q_p$ についての立方依存性を明らかにする。
• $H(1,-1,1) \equiv -2H(1,1,-1) + 3X + p\left(\frac{7}{6}q_p B_{p-3} + A - B\right) \pmod{p^2}$ という合同式は、補助定数 $A$ および $B$ に依存することを示す。
• 本稿は、$H(1,1,-1) \pmod{p^2}$ を決定することは $U(-3) \pmod{p^2}$ を計算することに帰着されることを示しており、$U$-和のさらなる研究の必要性を強調している。