[論文レビュー] Coning-off CAT(0) cube complexes

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、コンビナトリアルに凸な部分複体に対するCAT(0)立方複体のコーン・オフ構成を導入し、それらの双曲性を研究する。均一に厚い平坦な長方形をコーン・オフによって除去することで双曲的空間が得られることを確立し、右側アングル・コクセター群の相対的双曲性および自由積の$C^'(1/4)$-$T(4)$小刻みキャンセル化商の非可換双曲性について、新たな証明を与える。

ABSTRACT

In this paper, we study the geometry of cone-offs of CAT(0) cube complexes over a family of combinatorially convex subcomplexes, with an emphasis on their Gromov-hyperbolicity. A first application gives a direct cubical proof of the characterization of the (strong) relative hyperbolicity of right-angled Coxeter groups, which is a particular case of a result due to Behrstock, Caprace and Hagen. A second application gives the acylindrical hyperbolicity of $C'(1/4)-T(4)$ small cancellation quotients of free products.

研究の動機と目的

• 平坦な長方形と超平面グリッドの分析を通じて、CAT(0)立方複体がいつ双曲的であるかを特定すること。
• 非双曲的立方複体を、厚い平坦な長方形を除去することで双曲的空間に変換するコーン・オフ法を開発すること。
• 立方体的技法を用いて、右側アングル・コクセター群の強い相対的双曲性を再証明・精緻化すること。
• コーン・オフと双曲性基準を用いて、自由積の$C^'(1/4)$-$T(4)$小刻みキャンセル化商に対して非可換双曲性を確立すること。
• ハイパボリックな設定における先行結果を改善する高次元立方複体への弱い非可換作用の一般化を図ること。

提案手法

• 部分複体上での辺の追加によるタイプと、各部分複体に対して新しい頂点を導入する標準的コーン・オフの2種類のコーン・オフを定義する。
• L-細いおよびL-厚い平坦長方形の概念を導入し、それらの均一な細さが複体のグローバルな双曲性と関係することを示す。
• 局所的有限性と部分複体における超平面の交差の有界性に基づいて、通常のコーン・オフが細かいかどうかの基準を確立する。
• コーン・オフにおいて厚い平坦長方形が均一に有界である場合、双曲性が達成されることをコーン・オフ構成を用いて証明する。
• 接触グラフと超平面安定化部分群に双曲性基準を適用し、弱い相対的双曲性に関する結果を導出する。
• 有限次元立方複体において弱い非可換作用と非可換作用が同値であることに着目し、商の非可換双曲性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAT(0)立方複体がいつ双曲的であるか。平坦長方形と超平面グリッドはその条件とどのように関係するか。
• RQ2 組合せ的に凸な部分複体に対するコーン・オフ構成が双曲的空間を生成できる条件は何か。また、その条件は何か。
• RQ3 コーン・オフ法を用いて、右側アングル・コクセター群の強い相対的双曲性を再証明できるか。
• RQ4 自由積の小刻みキャンセル化商に対して、非可換双曲性を保証する条件は何か。
• RQ5 弱い非可換作用は高次元CAT(0)立方複体へ一般化可能か。また、その関係は非可換双曲性とどのように結びつくか。

主な発見

• CAT(0)立方複体が双曲的であることは、その平坦長方形が均一に細いこと、あるいは等価的にその超平面グリッドが均一に細いことと同値である。
• 組合せ的に凸な部分複体の族に対するCAT(0)立方複体のコーン・オフは、コーン・オフにおいて厚い平坦長方形が均一に有界である限り、双曲的である。
• 非$n$-組合せ的収縮超平面に対するコーン・オフは双曲的グラフを生成し、ハーゲンの弱い相対的双曲性に関する結果を改善する。
• 右側アングル・コクセター群では、非収縮超平面の安定化部分群に関して群は弱く双曲的であり、これは特に$C( ilde{ ho}_1 ilde{ ho}_2)$や頂点が誘導された正方形にある場合の$ ext{star}(u)$などの特定の部分群族へ拡張可能である。
• 均一に局所的有限なCAT(0)立方複体の通常のコーン・オフが細かいかどうかは、部分複体が局所的有限かつ超平面の交差が均一に有界である場合に限り成り立つ。
• $C^'(1/4)$-$T(4)$小刻みキャンセル化商の自由積において、自由積の長さが均一に有界な場合、商群は非可換な普遍作用を備え、例$K_{k,I}$において$k \geq 5$のとき、その群は非可換双曲的である。