[論文レビュー] Conjugacy growth of finitely generated groups

Michael Hull, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限生成群の共役成長関数として現れる関数を完全に特徴づけている：関数 $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ は、ある $ a \geq 1 $ に対して $ a^n $ で上から有界でかつ非減少である限り、同値関係に関して実現可能である（かつそのときに限る）。著者らは、部分群 $ H $ がちょうど2つの共役類しか持たないが、$ G $ は指数2の部分群として持つ有限生成群 $ G $ を構成した。このとき $ G $ は指数的共役成長を示すが、$ H $ は有限個の共役類しか持たない。この結果により、共役成長は擬等長不変量でないことが示された。

ABSTRACT

We show that every non-decreasing function $f\colon \mathbb N o \mathbb N$ bounded from above by $a^n$ for some $a\ge 1$ can be realized (up to a natural equivalence) as the conjugacy growth function of a finitely generated group. We also construct a finitely generated group $G$ and a subgroup $H\le G$ of index 2 such that $H$ has only 2 conjugacy classes while the conjugacy growth of $G$ is exponential. In particular, conjugacy growth is not a quasi-isometry invariant.

研究の動機と目的

• 有限生成群の共役成長関数として現れる関数を特定すること。
• 共役成長が擬等長写像に関して不変かどうかを、幾何的群論における中心的問題として調査すること。
• 特に部分群構造との関係において、共役成長の極値的挙動を示す明示的例を構成すること。
• 同値関係に関して完全な共役成長関数の分類を確立すること。

提案手法

• 著者らは、小縮約理論とHNN拡大を用いて、制御された共役構造を持つ群 $ G $ を帰納的に構成した。
• 各々が特定の性質を満たす群の列 $ G(i) $ を定義した：巡回部分群 $ C $ に関して双曲的であること、ねじれがないこと、制御された共役挙動を示すこと。
• 反復的にHNN拡大を施し、正規部分群で商をとることで、共役関係を強制する操作を含む構成を行った。
• 主要な技術は、定理6.2（小縮約に関する結果）を適用し、特定の元が最終商において共役になるように保証することであった。
• Svarč–Milnorの補題と語計量を用いて、共役成長を群の幾何的性質に関連づけた。
• 証明は、群の系列にわたる構造的性質（例：$ C $ への単射性、核の制御）の帰納的検証に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ で、有限生成群の共役成長関数として実現可能なものはどれか？
• RQ2 通常の成長関数が擬等長写像に関して不変でないのと同様に、共役成長は擬等長写像に関して不変か？
• RQ3 有限生成群が指数的共役成長を示す一方で、有限指数部分群が有限個の共役類しか持たないことは可能か？
• RQ4 群の構造的条件のうち、共役成長が指数的であることを保証するのは何か？
• RQ5 双曲的に埋め込まれた部分群は、共役成長関数にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 関数 $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ が有限生成群の共役成長関数として実現可能である（同値関係に関して）ための必要十分条件は、非減少であることかつ、ある $ a \geq 1 $ に対して $ a^n $ で上から有界であることである。同値関係 $ f \sim g $ は、$ f \preceq g $ かつ $ g \preceq f $ であることを意味する。
• 著者らは、指数2の部分群 $ H \leq G $ を持つ有限生成群 $ G $ を構成した。このとき $ H $ はちょうど2つの共役類しか持たない。
• $ H $ がたった2つの共役類しか持たないにもかかわらず、$ G $ の共役成長は指数的である。この結果により、共役成長は擬等長不変量でないことが示された。
• 群 $ G $ はねじれがなく、2生成である。共役成長関数は $ 2^n $ と同値であり、指数的成長が確認された。
• 構成は、帰納的HNN拡大と小縮約技法に依拠しており、巡回部分群に関して双曲的性質を保ちながら共役類を制御した。
• この結果により、マッピングクラス群や他の双曲的類似群の部分群の共役成長関数も指数的であることが示唆され、定理1.1によって裏付けられた。