[論文レビュー] Conjugacy growth series of some infinitely generated groups

Roland Bacher, De La Harpe, Pierre|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

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ひとこと要約

本稿は、無限に生成される群、特にフィナリティ対称群とそのワルプ積についての共役成長級数を計算し、共役生成元としての互換を用いたフィナリティ対称群の共役成長級数が、分割関数の母関数に等しいことを示している。分割係数に関する一般化されたラマヌジャン型合同式を提示し、数値的証拠を裏付けており、半ハミルトン的グラフの一般化としての分割完全グラフの概念を導入している。

ABSTRACT

It is observed that the conjugacy growth series of the infinite fini-tary symmetric group with respect to the generating set of transpositions is the generating series of the partition function. Other conjugacy growth series are computed, for other generating sets, for restricted permutational wreath products of finite groups by the finitary symmetric group, and for alternating groups. Similar methods are used to compute usual growth polynomials and conjugacy growth polynomials for finite symmetric groups and alternating groups, with respect to various generating sets of transpositions. Computations suggest a class of finite graphs, that we call partition-complete, which generalizes the class of semi-hamiltonian graphs, and which is of independent interest. The coefficients of a series related to the finitary alternating group satisfy congruence relations analogous to Ramanujan congruences for the partition function. They follow from partly conjectural "generalized Ramanujan congruences", as we call them, for which we give numerical evidence in Appendix C.

研究の動機と目的

• 無限に生成される群、特にフィナリティ対称群とそのワルプ積についての共役成長級数を計算すること。
• 無限群の文脈における共役成長級数と分割関数との関係を調査すること。
• 無限交代群における共役成長から生じる分割係数の一般化されたラマヌジャン合同式を調査すること。
• 分割完全グラフと呼ばれるクラスを導入し、その性質を研究すること。
• さまざまな互換生成集合を用いた有限対称群および交代群における共役成長多項式と語長多項式を比較すること。

提案手法

• 群 G と生成集合 S に対して、共役長さ関数 κG,S(g) を用いて、最小共役語長が n である共役類の数 γG,S(n) を定義する。
• 共役成長級数 CG,S(q) = ∑γG,S(n)qn を定義し、条件 (Fin) を満たす無限生成集合を持つ群に焦点を当てる。
• 母関数技法を用いて、互換生成元を用いたフィナリティ対称群の共役成長級数が、オイラー関数 ∏(1−qj)−1 に等しいことを示す。
• 有限体 Fp 上での計算的手法を用いて、分割係数における一般化されたラマヌジャン合同式を検出する。5000次の多項式展開を用いる。
• マップルプログラムを用いて、小さな整数 a ∈ {2,3,4,6,8} の因子集合の上での指数のすべての組み合わせを体系的にテストし、候補となる合同式を特定する。
• 巡回型と互換生成集合の組み合わせ的解析を通じて、分割完全グラフの概念を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての互換を生成元とするフィナリティ対称群の共役成長級数は何か？
• RQ2 有限群によるフィナリティ対称群による制限付き置換ワルプ積の共役成長級数はどのように振る舞うか？
• RQ3 フィナリティ交代群の共役成長級数の係数は、ラマヌジャンの分割関数に関する合同式に類似した関係を満たすか？
• RQ4 計算代数的手法を用いて、分割係数に対する一般化されたラマヌジャン合同式を体系的に同定できるか？
• RQ5 新たに定義された分割完全グラフのクラスに、組合せ論的意味は何か？

主な発見

• 互換生成元を用いたフィナリティ対称群の共役成長級数は、分割関数の母関数に等しい：CG,S(q) = ∏j≥1(1−qj)−1。
• フィナリティ交代群の場合、共役成長級数の係数は、分割関数のラマヌジャンの合同式に類似した合同関係を満たす。
• 11 および 13 を法とする一般化されたラマヌジャン合同式の存在が、数値的証拠によって裏付けられており、特定の剰余類と指数タプルが関与している。
• 本稿では多数の候補となる一般化されたラマヌジャン合同式を同定し、それらが稀ではなく、豊富に存在すると示唆している。
• 半ハミルトン的グラフの一般化として導入された分割完全グラフのクラスは、互換生成対称群の組合せ論から自然に生じる。
• 5000次の計算的検証において、誤検出は一切確認されず、予想される合同式の信頼性が裏付けられた。