[論文レビュー] Conjugation-invariant norms on groups of geometric origin

Dmitri Burago, Sergei O. Ivanov+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、幾何的起源をもつ微分同相群の自己同型不変ノルムの性質を調査し、特に有界性に関する性質に焦点を当てる。球面、閉連結な3次元多様体、およびアニュラスに対して、滑らかで compact な台を持つ微分同相群の単位成分における任意の自己同型不変ノルムが自明なノルムと同値であることを示しており、これによりこれらの群が有界であることが示唆される。主な貢献は、同型不変ノルムが無限大に発散しないことを示す構造的証明であり、同調的変形と c-生成ノルムを用いて、このようなノルムが有界でないことはありえないことを示している。

ABSTRACT

A group is said to be bounded if it has a finite diameter with respect to any bi-invariant metric. In the present paper we discuss boundedness of various groups of diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• 特定の多様体上での滑らかな微分同相群が、無限大に発散する自己同型不変ノルムをもつかどうかを特定すること。
• さまざまな多様体 $M$ に対して、微分同相群 $\mathrm{Diff}_0(M)$ の単位成分の有界性を調査すること。
• 交換子部分群と c-生成ノルムが幾何的群の有界性を決定する役割を分析すること。
• ノルムが安定的に無限大に発散する、または自明なノルムと同値であるような条件を確立すること。
• 球面、3次元多様体、およびアニュラスを含む特定の幾何的設定における有界性現象を解明すること。

提案手法

• 有限集合 $K$ による c-生成によって定義される自己同型不変ノルムを用い、ノルム $q_K(h)$ を $h$ を表すために必要な $K$ の元の共役の最小個数として定義する。
• c-生成ノルムの極値的性質を適用する：$K$ で有界な任意のノルムは、$q_K$ の定数倍で有界である。
• 多様体上での同調的変形技術を用い、埋め込みの経路を変更する。平行六面体内の局所座標を用いて交差を分離し、タイプII変形を実行する。
• 固定された集合 $K$ の外側に台を持つ微分同相群 $\phi_i$ の列を構成し、それらの合成が局所微分同相群 $h_i$ を互いに素な球内に共役するようにする。
• ノルムの安定化 $\nu_\infty(f) = \lim_{n\to\infty} \nu(f^n)/n$ を用いて、安定な無限大発散を分析する。
• もし $\nu_\infty(f) \neq 0$ ならばノルムは安定的に無限大に発散するが、この性質が研究対象の幾何的群では成立しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面 $M = S^n$、閉3次元多様体、またはアニュラスに対して、$\mathrm{Diff}_0(M)$ 上のすべての自己同型不変ノルムが自明なノルムと同値であるか。
• RQ2 交換子部分群は微分同相群の有界性を決定する上で果たす役割は何か。
• RQ3 $M$ が genus $\geq 1$ の閉じた曲面またはメビウスの帯であるとき、$\mathrm{Diff}_0(M)$ 上に無限大に発散する自己同型不変ノルムが存在するか。
• RQ4 自己同型不変ノルムが安定的に無限大に発散する条件は何か。
• RQ5 同調的変形と有限集合による c-生成は、微分同相群の有界性をどのように制御するか。

主な発見

• 球面、閉連結な3次元多様体、およびアニュラスに対して、$\mathrm{Diff}_0(M)$ 上の任意の自己同型不変ノルムは自明なノルムと同値であり、これによりこれらの群が有界であることが示される。
• $\mathrm{Diff}_0(M)$ が有界であるための必要十分条件は、$K$ が有限集合である限り、$q_K$ が有界であることである。
• $SL(n,\mathbb{R})$ および $SL(n,\mathbb{Z})$（$n \geq 3$）では、基本行列から生成される c-生成ノルムが有界であり、これによりこれらの群が有界であることが示される。
• 群 $G$ が無限大に発散するときかつそのときに限り、$G'$ 上の交換子長は無限大に発散する。これは交換子構造と有界性の間の重要な関係を示している。
• 球面 $M = S^n$、閉3次元多様体、およびアニュラスに対して、無限大に発散する自己同型不変ノルムは存在しない。これは同調的変形と c-生成の議論によって示される。
• 証明では、$f_1|_\Gamma = h \phi|_\Gamma$ という分解を構成し、$h$ が球内に台を持つこと、$\phi$ が固定された集合 $K$ の外側に台を持つことを示しており、同調的変形が有界な部分に分解可能であることを示している。